乘法概念的一次补底教学 - 香港数学教育学会.pdf

數學教育第二十三期 (12/2006) 乘法概念的一次補底教學 馮仲頤 香港教育學院全日制學生 先寫被乘數的迷思 在初小階段學習乘法，教師和學生之間有一常見的約定，就是：在算 式中，先寫的數叫「被乘數」，後寫的數叫「乘數」；被乘數是指被倍大的 數量（或稱被重複的數量），乘數是指倍大的次數（或稱重複的次數）。這 約定建基於教學的需要，讓師生在討論應用處境時，有共通的語言，例如： 例一 弟弟有 8 元，姐姐有的錢是弟弟的2倍，問姐姐有多少元？ 8 （元）2 （倍） （約定意思：8 重複2 次 或 有2 個8 ） = 16 （元） 例二 姐姐給弟弟8個 2 元硬幣，問姐姐共給弟弟多少元？ 2 （元）8 （個） （約定意思：2 重複8 次 或 有8 個2 ） = 16 （元） 在約定下，「2 （元）× 8 （個）」被理解為「有8 個2 元」，明確指出被 倍大的數量及倍大的次數。培育學生從不同的應用處境準確區分「被乘數」 及「乘數」是一種思考能力的訓練，與運算能力的培育不同，卻同樣重要。 認清不同的概念有助增強學生對不同應用處境的理解能力，加上準確運 算，當學生遇到難題時，便事半功倍。 可是，一些對兩個概念不甚了解的學生，往往會把應用處境中先出現 的數，如例二的「8 」先寫，然後加上一個乘號，接著寫上較後出現的數字 「2 」，得出8 × 2= 16 （元）。雖然結果相同，但從定約的表達方式來理解算 式的話，學生明顯地未能區分哪個是被倍大的數。 這現象有很多原因：學生未有真正思考哪個是被倍大的數、未有提供 足夠的時間讓學生思考、學生不知道有「約定」的表達方式等等。有時候 為免初小學生書寫太多文字，阻礙教學的推進，不少教師容許學生於寫算 64 EduMath 23 (12/2006) 式時把單位省去，只填上答案的單位，這使教師未能清楚檢視學生能否區 分哪個是被倍大的數，有時候可能誤解學生的想法，現舉一例。 例三 有 3輛汽車，每輛有車輪 4個，問共有車輪多少個？ 算式 A ： 4 3 = 12 （個） 算式A 的意思是「每輛汽車有車輪4 個，重複3 次（3 輛），共有車輪 12 個」。 算式 B ： 3 4 = 12 （個） 算式B 的意思是「現有4 類車輪（左前輪、右前輪、左後輪、右後輪）， 每類3 個（3 輛），即有4 個3 ，共有12 個車輪」。 算式B 中，礙於被乘數和乘數都沒有寫上單位，單從算式和答案，不 容易把懂的和不懂的區分出來。相反地，如果要求學生寫上各數的單位， 便會看到「3 （輛）× 4 （個）= 12 （個）」和「3 （個）× 4 （類）= 12 （個）」 兩種算式。前者的混淆顯而易見（假設依約定表達），後者的別有心思，亦 呼之欲出，只是其思路較不尋常而已。訓練學生思考文字與符號的關係， 使得文字與符號兩者的意思相符，才算學懂乘法哩！ 其實「先寫的數是被乘數，後寫的數是乘數」只是一種過渡性的教學 約定，並非由數學原理衍生。學生升至高小時，開始學習代數，這約定便 會淡出，試看學生如何以代數式回答下列問題： 例四 弟弟有 y 元，姐姐有的錢是弟弟的兩倍，問姐姐有多少元？ y （元）2 （倍） = 2 × y （元） （利用乘法交換性質） = 2y （元） （約定的代數表式寫法） 例五 姐姐給弟弟y個 2 元，問姐姐給弟弟多少元？ 2 （元）y （個） = 2y （元） 乘法交換性質使被乘數和乘數在算式中的位置失去必然性，例四和例 65 數學教育第二十三期 (12/2006) 五都得出2y （先寫數字