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多变数函数的连锁律
13.5 多變數函數的連鎖律
Chain Rules for Functions of Several Variables
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目的
對多變數函數使用鏈鎖律(chain rule)
求多變數函數的隱微分
2
多變數函數的連鎖律
定理13.6: 對單一獨立變數的鏈鎖律
w f x , y
令 ( )是依賴x和y 的可微分函數。如果x g t 、 ，
( ) y h t
( )
而g t 、h t 為依賴變數t 的可微分函數，則w是一個對變數t
( ) ()
的可微分函數且
dw ∂w dx ∂w dy
=+ 。
dt ∂x dt ∂y dt
3
例題一
2 2 t
令w = x y – y 、x = sin t 、y = e 。利用連鎖律，求當t = 0時
的dw/dt 。
解:
根據單變數的連鎖律，
4
例題一 cont’d
將t = 0代入，得
5
例題一
另解:
將w 化成依賴t 的函數，
2 2 2 t 2t
w = x y – y = (sin t)(e ) – (e ) 。
對其微分
dw t t 2 2t
2e sin t cos t +e sin t −2 e 。
dt
6
多變數函數的連鎖律
假設每一個x 都是依賴單一變數t 的可微分函數、
i
且w = f (x , x , . . . , x ) ，則
1 2 n
7
例題二
x 4cost x 2sin 2t
⎧ 1 ⎧ 2
假設兩個物體分別沿著橢圓曲線 ⎨ 、⎨ 運動
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