数学教学要教什么 - 华南师范大学数学科学学院.ppt

怎样理解数学的理解何小亚 导数概念的核心---极限概念在历史发展进程中,不是一下子就严谨的[7] 例如， Newton指出：“两个量和量之比，如果在有限时间内不断趋于相等，且在这一时间终止前互相靠近，使得其差小于任意给定的差别，则最终就成为相等。” 这个定义的表述并不严谨，只是接近于极限的直观表述：如果当x无限接近 x。时， f(x)无限地接近于常数A，那么就说f(x)以A为极限 由于极限概念的不严谨，导致了无穷小悖论的出现： 简言之，增量在作差商时不等于零，约简后又等于零。 英国大主教B.G.Berkeley(1685-1753)攻击微分学的推导是“分明的诡变” 法国数学家A.L.Cauchy(1789-1857)把无穷小视为以零为极限的变量，解决了无穷小“似零非零”的悖论。 他指出：“当一个变量逐次所取的值无限趋近于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值。” Cauchy的这一极限定义依然使用了几何直观的语言，如“无限趋近”，“要多小就多小”，依然不够严谨。 极限的 定义是由德国数学家K.T.L.Weierstrass(1815-1897)给出： 四、数学理解的动态生长——折返 Pirie和Kieren在1989 PME研讨会议中提出这个数学理解的动态成长理论。 这一理论模式就是要去看个体在一个问题上所呈现的理解，这个理解是如何出现，以及在不同的时期时这个理解是如何发展的。 数学认知动态发展的观察方法 不给复杂的项目来检验他的数学知识的获得 在小组里给一些超越这个时期的特殊的数学题目 纪录和观察他们运作讨论的情形 分析他们的对话及所写下的文字叙述 数学理解动态成长理论的８个阶层 ①原始认识 (Primitive Knowing：PK) ①原始认识（Primitive Knowing：PK） 学习一个主题时，在所想起的很多事物中，排除无关的概念，关注与所要学主题有关的部分。 例如：学习“分数除法”时，“除法的意义”是原始认识。 ②造心像（Image Making：IM） 经由活动（心智或物理的）来产生关于主题概念的一些想法。 例如：回答什么是分数，学生可能被要求做一些切割或折纸的活动。 ③成心像（Image Having：IH） 具有一个和该数学概念有关的心像或物像。 例如：完成造心像阶段的学生，可能说出分数是整体当中的一部分，或你把东西切成相等的八等分，将得到八个八分之一，或可将八分之一写成1/8，他们可以不需要切割，就能说出他们所知道的这个概念。 ④注意性质（Property Noticing：PN） 考虑自己心像间的差异性和共同性。 例如：回答问题“什么是特别的或有趣的分数时？”学生可能注意到1/2=2/4=4/8=…的上下数字都乘以2，他们也可能预测1/3=2/6=4/12=…。他们注意到分数之间的等价及如何去生成它们。 ⑤形式化（Formalizing：F） 以整体来思考，而不是只思考某些特别的行动。儿童在他们了解用形式的代数特征（如1/N）之前，已有一段时间是处于形式化的阶段了。 例如：回答所有分数是什么的问题，学生不需要从切割或折纸来考虑，甚至进一步的想到这样做对任意的分数都对，即使是七分之一。 ⑥观察（Observing：O） 和注意性质是等价的，但是在检验个人形式化的相同性或相异性。 例如：问如何可以更加深入了解等价分数和分数除法的特征？学生回答：利用有理数的定理。 ⑦结构（Structuring：S） 不再考虑特定的形式表征，而是想到数学物件的一般分类。在此阶段的学生会做一般定理的证明， 例如：有关有理数的思考不再是实际的行动（IH）或形式化的代数表征1/N(Ｆ) ，而是整体抽象的一般名词，像 序对族（class of ordered pairs） 或商域（quotient field）. ⑧创造（Inventing：I） 当一个人有好的结构性理解时，就会想著去打破结构的规则、限制。 例如：汉米顿（Hamiliton）从复数结构性了解而发展出四元数（quaternion）的概念。 Pirie所定义的数学理解（Mathematical understanding） 数学理解是一个动态、阶段性、非线性、连续迂回的，并且是一个组织知识结构的数学过程。 理解的发展，不是指在某个时候会作什么数学问题，而是指从一个数学概念发生到现在所理解的数学概念之间所经过的路径。 折回（Folding Back：FB）： 当一个人在较外层的理解遇到问题无法立刻解决时，常常会折回一个较内层的理解，再由一些较内层的活动的反思，组织较早前的建构，或产生、创造新的心像，来拓展不足够和不完全的了解，以解决先前所遇