NeymanPearson基本引理.ppt

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基本概念 Neyman-Pearson基本引理 一致最优势检验 4.势函数的定义: 称样本观察值落在拒绝域的概率为检验的势函数(功效函数), 记为 是?的严增函数 6. 检验函数和随机化检验 检验函数定义:设?(x)为定义在样本空间X上的可测函数,满足条件0≤?(x)≤1.在有了样本x后,计算?(x),然后以概率?(x)拒绝原假设,以概率1- ?(x)接受原假设, 则称?(x)为一检验(检验函数).若?(x)能取(0,1)内之值,称?(x)为随机化检验. 若?(x)仅取0,1两个值,则称?(x)为非随机化检验,其拒绝域由满足条件?(x)=1的那些x构成. 势函数可写为 例1中, n=10,?=0.05时,取随机化检验函数 原假设H0: ??1成立时,犯第一类错误的概率为 §7.3 一致最优势检验 *chap7 统计推断的三个方面: 抽样分布,参数估计与假设检验 根据样本的信息检验关于总体的某个假设是否成立的问题 称为假设检验问题. 比如, 总体X的均值?是否等于?0; 总体X是否服从正态分布等. §7.1 基本概念 1.关于分布p的原假设与备择假设记为 H0: p?P0, H1: p?P1 P0与P1 是分布族P的互不相交的非空子集. 关于参数?的原假设与备择假设记为 ?0 与 ?1 是 ? 的互不相交的非空子集. 给定H0和H1就等于给定检验问题,记为检验问题(H0,H1). 2. 定义:在检验问题(H0,H1)中,检验法则(简称检验法或检验) 就是设法把样本空间X划分为互不相交的两个可测集: 并规定: 当观测值x?W时,就拒绝原假设H0,认为备择假设H1成立. 当观测值x?W时(即 ),就不拒绝H0,认为原假设H1成立, 称W为检验的拒绝域. 选定了检验法?确定了拒绝域 怎样选检验法,即怎样确定拒绝域? 例1. 电话交换台单位时间内接到的呼唤次数X~P(?), ?0. ?为单位时间内接到的平均呼唤次数.为考察该台的?是否不超过1,考虑检验问题 设x=(x1,…,xn)是交换台的n次记录,即来自P(?)的样本X=(X1,…,Xn)的一个观测值. 取(检验)统计量(通常从参数的估计出发寻找检验统计量) — ?的充分,完备的统计量. 是?的MLE.如H0成立,则?的估计量 不应太大,于是T也不应太大.因此,当T≥c (c是某个常数)时,就要拒绝H0 .拒绝域可用检验统计量T 表示为 c 称为临界值. T 的观测值. 拒绝域 用来确定拒绝域的统计量称为检验统计量 3. 两类错误 当原假设H0为真时,样本观测值却落在拒绝域W 中,从而使我们拒绝原假设.这种错误称为第一类错误,犯第一类错误的概率为 当原假设H0不真时,样本观测值却没落在拒绝域W 中,而落在接受域 中,从而使我们没有拒绝原假设.这种错误称为第二类错误.犯第二类错误的概率为 例1中的检验犯两类错误的概率? 已知X1,…,Xn独立,且都服从P(?).由卷积公式, 即 犯第一类错误的概率 犯第二类错误的概率 由以上两式可知 n 固定时不可能使得犯两类错的概率都减少. ??1. ?(?) ?1- ?(?) 不同 由定义知 在???0 时,g(?)=?? (?) 是犯第一类错的概率. 在???1 时,g(?)=1-?(?), 1-g(?)是犯第二类错的概率. 势函数是假设检验中最重要的概念之一.因为同一个原假设可以 有许多检验法,其中自然有优劣之分.这区分的依据,就取决于 检验的势函数. 这由上知,在???0 时,即H0为真时,希望势函数g(?)尽量小。 在???1 时,即H1为真时,希望势函数g(?)尽量大。 例1中检验的势函数: 是?的严增函数.对取定的样本容量n,临界值c不同时,对应的检验势不同 即通过c,可使势函数减小或增大. 注意: ? 取值在全空间? 右端可以看成是,形状参数为c,尺度参数为1的伽马分布的 分布函数,因而是积分上限的严增函数,即?的严增函数. Neyman和Pearson的假设检验理论基本思想: 寻找先控制犯第一类错误的概率在某一个范围内,然后寻找使犯第二类错误的概率尽可能小的检验. 即 对选定的一个较小的数? (0?1) 在满足 的检验中,寻找在???1 时g(?)尽可能大的检验. 5. 检验的水平 在例1检验中,由犯两类错误的 概率表达式可看到:当n固定时, 不可能使得犯这两类错误的概率 都减少. g(?)=1-?(?) 在???0 时,g(?)≤? 的检验称为水平为?的检验,记为(?,?0, ?1)检验. ?常取0.1,0.05,0.01等值. 根据检验的水平确定临界值c 例1中 是?的严格增函数. 给定?,

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