线性代数第四章-矩阵的特征值和特征向量.ppt

第四章 矩阵的特征值和特征向量 §4.2 特征值与特征向量 A? = ?? 特征值 特征向量 An? = ?n? , ?(A)? = ?(?)? ?(A) = O ? ?(?) = 0 A可逆 ? A?n? = ??n? ? ? 0 ? A*? = ??1|A|? 例8. 若A3?3的特征值为1, ?1, 2, 则|A| = ?2. A*的特征值为?2, 2, ?1. 例9. 设?1, ?2, …, ?m为方阵A的m个不同的特征值, p1, p2, …, pm为依次对应于这些特征值的特 征向量, 证明p1, p2, …, pm线性无关. 证明: 若k1p1 +k2p2 +…+kmpm = 0, 则 由此可得(k1p1, k2p2, …, kmpm) = O. (k1p1, k2p2, …, kmpm) = O. 因而k1 = k2 = … = km = 0. 这就证明了p1, p2, …, pm是线性无关的. 1 ?1 … ?1m?1 1 ?2 … ?2m?1 1 ?m … ?mm?1 … … … 第四章 矩阵的特征值和特征向量 §4.2 特征值与特征向量 第四章 矩阵的特征值和特征向量 §4.3 矩阵可相似对角化的条件 §4.3 矩阵可相似对角化的条件 A~? = P ?1AP P 可逆 ? ?1, …, ?n线性无关 P ?1AP = ? ? (A?1, …, A?n) = (?1?1, …, ?n?n) 定理4.3. An?n ~ 对角矩阵 ?有n个线性无关的特征向量. ?1 0 … 0 0 ?2 … 0 … … … … 0 0 … ?n = P = (?1, …, ?n)可逆 ? AP = P? 例1. 求A = 的特征值和特征向量. 解: 所以A的特征值为?1 = 2, ?2 = 4. 解之得 A的对应于?1=2的特征向量为 对于?1=2, (2E?A)x = 0 即 3 ?1 ?1 3 |?E?A| = ??3 1 1 ??3 = (??2)(??4). ?x1 + x2 = 0 x1 ? x2 = 0 x1 x2 = k 1 1 (k ? R). k k (0?k?R). 第四章 矩阵的特征值和特征向量 §4.2 特征值与特征向量 回忆 例1. 求A = 的特征值和特征向量. 解: 所以A的特征值为?1=2, ?2=4. 解之得 A的对应于?2=4的特征向量为 对于?2=4, (4E–A)x = 0 即 3 ?1 ?1 3 |?E–A| = ?–3 1 1 ?–3 = (?–2)(?–4). x1 + x2 = 0 x1 + x2 = 0 x1 x2 = k 1 ?1 (k ? R). k ?k (0?k?R). [评注] 令P = 1 1 1 ?1 , 则P?1AP = 2 0 0 4 . 令Q = 1 1 ?1 1 , 则Q?1AQ = 4 0 0 2 . 第四章 矩阵的特征值和特征向量 §4.2 特征值与特征向量 回忆 解: |?E?A| = (??2)(??1)2. 所以A的特征值为?1=2, ?2= ?3= 1. 对于?1 = 2, 求得(2E?A)x = 0 的基础解系: p1 = (0,0,1)T. 对应于?1=2的特征向量为kp1 (0?k?R). 对于?2 = ?3 = 1, 求得(E?A)x = 0 的基础解系: p2=(?1, ?2,1)T. 对应于?2 = ?3 =1的特征向量为kp2 (0?k?R). 例2. 求A = 的特征值和特征向量. [问] A相似于对角矩阵吗? ?1 1 0 ?4 3 0 1 0 2 第四章 矩阵的特征值和特征向量 §4.2 特征值与特征向量 回忆 解: |?E?A| = (?+1)(??2)2. 所以A的特征值为?1= ?1, ?2= ?3= 2. (?E?A)x = 0的基础解系: p1=(1,0,1)T. 对应于?1= ?1的特征向量为kp1 (0?k?R). (2E?A)x = 0的基础解系: