7.5本征值和本征向量PPT.pptVIP

7.5.4 矩阵特征值和特征向量的计算方法 求A的全部特征值和特征向量的步骤： 7.5.4 特征值和特征向量的性质 * * 7.5 本征值和本征向量 7.5.1 本征值和本征向量的定义 . 定义1 设V 是数域F上的一个向量空间， , 如果对于F中的一个数λ, 存在V中非零向量 使得 ,则称λ为线性变换σ的一个本征值， 而 叫做σ的属于本征值λ的一个本征向量. 问题1 定义为什么限制 非零? 问题2 属于σ的本征值λ是否被本征向量唯一确定? 问题3 属于σ的同一本征值λ的本征向量是否唯一 确定? 问题4 F上的向量空间V中本征向量与一维不变子 空间有什么关系? 例题1--3 7.5.2 本征值和本征向量的计算方法 设 ,取定V的一个基 ,令 关于这个基的矩阵为 若 关于基 的坐标 关于基 的坐标 则 而 则有 即有 即 关于基 的坐标是上述（1）以 为系数矩阵的齐次线性方程组的非零解； 而（1）有非零解 系数行列式 即 是 的一个本征值时其须满足（2）； 从而 满足 ,即 为线性变换 的一个本征值. 反之若 满足(2)，则(1)有非零解 , 同时,非零解 即为本征向量 关于基 的坐标. 称为A的特征多项式. 称为A的特征方程， 称为A的特征矩阵. 定义2： 是数域F上的n阶矩阵. 的一个本征值 特征多项式 相似矩阵有相同的特征多项式吗? 的全部的本征值可以由 关于V的任意一个基的 矩阵的特征多项式来决定,因此把它改称为线性变 换 的特征多项式,记为 定理7.5.1 设 为线性变换 的一个本征值必要且只要 是 的特征多项式 的一个根. 把 在复数域C内的根（即 在复数域C内的解）叫做矩阵A的特征根.若 为A的一个特征根，那么相应的齐次线性方程组 的一个非零解叫做矩阵A的属于特征根 的一个 特征向量. 注意:Ⅰ)方阵才有上述概念，注意其特征根的范围. Ⅱ）由上述讨论及概念知线性变换 的本征值与 本征向量与矩阵的特征根与特征向量的关系： ,取定V的一个基 , 令 关于这个基的矩阵为 . . ①A的特征根（注在C中）不一定是 的本征值(在 F中)，而 的一个本征值λ，必是A的一个特征根 （在F中). ②矩阵A的属于F的特征根λ就是 的本征值，而 A的属于特征根λ的特征向量，就是 的属于λ的 本征向量关于所给定的基的坐标. 特征多项式的进一步讨论 1.相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征根. 2.矩阵 的特征多项式展开 的降幂形式的前两项为: 由多项式的性质 的常数项为: 定义3 矩阵A的主对角线上元素的和称为矩阵A的迹. 综上 A的特征根与 的展开式中的系数的关系? 设 是A在C内的全部特征根，则由根与一次 因式的关系有： 比较（1）（2）得： 使 λ是A的特征值 有非零解 注2： λ是A的特征值 λ是方程 的根 . 且 α是A属于λ的特征向量 是 的非零解. 注3:α是A属于λ的特征向量 是 的非零解. 1. 计算特征多项式 2. 求特征方程 的所有根，即得A的全部 特征值 3. 对于A的每一个特征值 ，求相应的齐次线性 （ 不全为零 ） 的一个基础解系 ,则A的属于 的全部特征向量为 方程组 例1 设 ，求A的全部特征值、特征向量. 解： A的特征多项式为 A的特征值为 对于 解 由于 得基础解系 A的对应于 的全部特征向量为 即 对于 解 即 由于 得基础解系 A的对应于 的全部特征向量为 注4：A的特征向量有无穷多个，分为两大类： 一类为 一类为 问题1：同类的两个特征向量的线性相关性如何？ 问题2：不同类的任意两个特征向量的线性相关性如何？ 解 A的特征多项式 A的