值分析1-误差及有效数字.ppt

数值分析： 研究各类数学问题求解的数值计算及相关理论分析。 随着计算机的产生和发展，数值分析越来越多地研究如何借助于计算机求解相关问题。 计算方法： 随着计算机产生和发展而建立的一个重要数学分支，是研究建立计算机解决各种数学问题的数值计算及相关理论分析。 第一章 绪论 1.1数值分析(计算方法)介绍： (Numerical Analysis) (Computational Method) * 主要内容： （1）数值计算：非线性方程求根，（非）线性方程组求解，插值，逼近（最小二乘拟合），数值微分（积分），常微分方程，矩阵特征值求解，偏微分方程数值解,…… （2）理论分析：误差分析，计算过程的收敛性、稳定性（数学角度上），算法的计算时间复杂度，存储容量大小（计算机角度上） * 特点 : 具有数学的抽象性和逻辑严密性 又具有广泛的应用性和高度的技术性（与计算机结合密切的一门课程） 使用计算机进行数值问题求解是主要研究对象。 * 如何学习这门课？ 这门课的学习意义，数值计算的重要性; 如何上这门课（教材）, 学习方法; 上课形式（授课、上机、大型实验）; 成绩评定（平时、实验、期中、期末）. * 1.2误差基本概念1.2.1误差定义及来源 真实值与观察、测量或计算的值之间存在差异，其差称为误差。 结合实际问题求解，误差来源可分为： (1). 模型误差（实际问题→数学问题）， 如抽象化、忽略次要因素等. (2). 观测误差（数学问题中的数据初始值观察 测量时产生） (Error) * (3). 截断误差（计算过程中存在的一些无限计算），如无穷级数求和（无限次→有限次： ， (4). 舍入误差（计算结果中存在数据无限位，如Pi，无理数→有理数，） 整个误差来源可做图表示: 总结：误差是不可避免的，应尽量减少误差，提高精度（如选择好的计算方法） * 1.2.2绝对误差和绝对误差限 定义：设 为准确值， 是近似值 , 为绝对误差 分析： ①e可正可负（并不因为是绝对误差，就以为是正值) ②e值实际上无法知道, 不知道， 但能知道误差的某个范围（即误差限） 例：毫米刻度的尺子，正常情况下误差不超过 0.5mm. 定义：若 ，则 称为绝对误差限， 为正数，有: * 1.2.3相对误差和相对误差限 为什么引入？ 因为用厘米刻度的尺子测量1米长和10米长的物体，其绝对误差限都为0.5㎝，但测量精度分别为1/100和1/1000，所以为了较好反应测量精确度，引入相对误差。 定义： 为准确值， 为近似值，则 * 分析： (1). 可正可负 (2). (3). 无法知道，因为 不知道， 也可表示为 和 之间关系为： （可作为习题） 因为 无法求出，所以通常考虑相对误差限 若 或 则称 为相对误差限。 * 1.2.4 有效数字 当 有很多位数表示时，可按四舍五入取前几位。 定义：如果近似值 的误差限是其末位上的半个单位，且该位直到 的第一个非零数字共有n位，则 有n位有效数字。 具体计算：对 ，从左往右数，从第一个非零数字开始，直到最右面的数共有n个，且其误差限为末位的 个单位，则有效数字为n。 有效数字的位数确定. * 例：数0取五位有效数字， 例： =1.732050808 若 =1.7321， 但若 =1.7320， 误差限为 则有5位有效数字，因为误差限＜ 则只有4位有效数字，因为误差限＞ 为0.0023471， * 1.2.5误差传播影响 计算过程中（如四则运算）的初始数据误差会导致函数值误差. 泰勒级数展开分析误差传播. 设 为准确值， 准确值为 为近似值， 近似值为 先考虑绝对误差： 令 利用二元函数一阶泰勒展开公式 采用二元函数 * 所以： 再考虑相对误差： 根据以上两公式，可得到两数相加、减、乘、除的误差传播： * （避免绝对值很大的数为乘数） （避免 为很小的数为除数） （避免两相近数相减运算) * 1.3 机器数系. (略.主要防止计算机处理过程中的数字溢出和含入误差) 这里，主要介绍计算机中浮点数的表示形式及 表示范围（4个参数）： 其中， =±0.a1a2a3………at 称为尾数∈[-1,1], 中的正负号用一位数字区分； β为基数，如取2、10、8、16； p为阶数，有上限U和下限L, 由计算机存储字节长度决定。