字信号处理滤波器设计.ppt

全通函数的表达形式为： 全通函数 的基本特性： ① N ——全通函数的阶数 ——是极点， 可以是实数，也可以是共轭复数。且 ，因为一 个稳定系统的极点必须在单位圆内。 ——是零点，所有的零点都是极点的共轭的倒数。 ③可以证明，Z平面当 由0变化到 时，其相位函数 由0变到 ，因此 可以由相位的变化来确定阶数N。 只要选择合适的N和 就可以得到各类需要的变换。下面我们具体讨论各种原型变换： 一. 低通 低通 从U平面 Z平面 * 及 均是低通滤波器的系统函数，从低通到低通的变换中，它们的 频率都是由 ，区别只是截止频率不同已。如图所示： 当 ： ： 此时满足变换关系 当 由0变到 时， 相应的也由0变到 。根据全通函数 相位的变化量为 ，得到满足低通变换的全通函数的阶数N等于1 。 所对应的一阶全通函数应该为： 其中 是实数且 * 将 及 代入上式，可以 得到这个变换所反映的频率变换关系： 由上式可以解出 ： 如果低通原型的截止频率 ， 变换后的低通截止频率为 ， 则代入上式中可以解出 ： 变换后得到的新的数字低通滤波器的系统函数是 下面我们讨论 、 和 的关系，由频率关系式 * 、 和 的关系如图所示： 时， ， 此变换代表的是频率压缩 时， ， 此变换代表的是频率扩展 由上可知U平面到Z平面的频率变换关系是非线性的。 二. 低通 高通 如将 变换为 ，相当于将单位圆上的频响旋转了一个 的角度， 进行了一个旋转变换，这时 平面上的低通就变换为相应的高通了。 所以只要将 中的 以 替 代，就完成了低通到高通的原型变换。 低通到高通的原型变换为： * ∵在低通到高通的变换中，当低通由通带走向阻带，即 由 时， 高通是由通带走向阻带， 是由 ∴ 根据全通函数相位 的变化量为 ，则全通函数的阶数N必须为1。 所以有 * 三. 低通 带通 低通到带通的变换应该满足以下两点要求： ① 若带通的中心频率为 ，则对应着低通原型的通带中心，即 点。 ②?当带通滤波器由通带走向阻带时，频率 由 ， 对应的低通原型的频率 是由 ;同样，当带通滤 波器由阻带走向通带时，频率 由 时，对应的低 通原型的频率 是由 。 可以看出，可以看出，低通到带通的变换，由于 变换后在 之间 或 之间形成两个通带，也就是变换函数需要 在单位圆上转两次， 因此，全通函数的阶数N应等于2 。 由于带通滤波器的变换应满足下面条件： 因此，低通到带阻的变 换全通函数应取“＋”号。 * 【例4．5】已知一阶巴特沃思数字低通的传递函数 ，截止频率 。要求设计一阶巴特沃思数字带通滤波器，其上、下截止频率分别 为： 。 解：首先确定参数，参数的确定请参看P109页表4－1 二阶全通函数为： * 系统函数在 处有一对共轭极点， 处有两个零点，如图所 示。当 时带通中心频率处 的频响为： 把以上参数代入 得： * 四. 低通 带阻 低通到带阻的变换，由于变换后 在 之间或 之间形成两个阻带，也就是变换函数 需要在单位圆上转两次，因此，全通函数的阶数 N＝2。 因此，低通到带阻变换全通函数应取“＋”号，这时二阶全通函数为： 由于带阻滤波器的变换应满足： 其中 * ②脉冲响应不变法设计思想是 但我们可以直接从 得到 ③频率坐标是线性变换 即 。因为模拟和数字频率之间的变换关系是线性的，所以可以设