(G)= G不是Hamilton图 存在哈密尔顿通路的充分条件 - 南京大学.PPT

P当且仅当Q：P，当Q ===== Q=》P； P，仅当Q ===== P=》Q。 必要性证明就是证明P=》Q，证明Q是P的必要条件。 * * * * * * * 哈密尔顿图 离散数学─图论 南京大学计算机科学与技术系 内容提要 哈密尔顿通路 哈密尔顿回路 哈密尔顿图的必要条件 哈密尔顿图的充分条件 哈密尔顿图的应用 竞赛图与有向哈密尔顿通路 沿着正十二面体的棱寻找一条旅行路线, 通过每个顶点恰好一次又回到出发点. (Hamilton 1857) 周游世界的游戏 G中Hamilton通路 包含G中所有顶点 通路上各顶点不重复 G中Hamilton回路 包含G中所有顶点 除了起点与终点相同之外，通路上各顶点不重复。 Hamilton回路与 Hamilton通路 Hamilton通路问题可转化为Hamilton回路问题 G*K1 Hamilton通路/回路 Hamilton回路的基本特性 Hamilton回路:无重复地遍历图中诸点, Euler回路:无重复地遍历图中诸边. 若图G中有一顶点的度为1, 则无Hamilton回路. 设图G中有一顶点的度大于2, 若有Hamilton回路, 则只用其中的两条边. 若图中有n个顶点, 则Hamilton回路恰有n条边. 注：Hamilton回路问题主要针对简单图。 Hamilton回路的存在性问题 Kn(n?3)有Hamilton回路 a c b e d a c b e d a c b e d K3 K4 一个基本的必要条件 如果图G=(V, E)是Hamilton图，则对V的任一非空子集S，都有 P(G-S)? |S| 其中， P(G-S)表示图G-S的连通分支数. 理由：设C是G中的Hamilton回路, P(G-S)? P(C-S)? |S| 向一个图中顶点之间加边不会增加连通分支。 必要条件的应用 举例 将图中点a, b, c的集合记为S, G-S有4个连通分支,而|S|=3. G不是Hamilton图. a b c 下图给出的是 C2,7的具体图 (h=2,n=7) Kh Kh Kn-2h 举例 必要条件的局限性 必要条件只能判定一个图不是哈密尔顿图 Petersen图满足上述必要条件，但不是哈密尔顿图。 哈密尔顿图的充分条件 Dirac定理（狄拉克, 1952） 设G是无向简单图，|G|=n?3 ， 若? (G)? n/2，则G有哈密尔顿回图. Ore定理（奥尔, 1960） 设G是无向简单图，|G|=n?3 ，若G中任意不相邻的顶点对u,v均满足： d(u)+d(v)?n ，则G有哈密尔顿回图。 设G是无向简单图, |G|=n?2, 若G中任意不相邻的顶点对u,v均满足：d(u)+d(v)?n-1，则G是连通图。 假设G不连通，则至少含2个连通分支，设为G1, G2。取x?VG1, y?VG2, 则：d(x)+d(y)?(n1-1)+(n2-1)?n-2 (其中ni是Gi的顶点个数)，矛盾。 充分条件的讨论 “? (G)? n/2”不能减弱为： ? (G)? 举例，n=5，? (G)=2 . G不是Hamilton图. 存在哈密尔顿通路的充分条件（Ore定理的推论） 设G是无向简单图，|G|=n?2 ，若G中任意不相邻的顶点对u,v均满足： d(u)+d(v)?n-1 ，则G有哈密尔顿通路。 Ore定理的证明 Ore定理（1960） 设G是无向简单图，|G|=n?3，若 对G中任意不相邻的顶点u和v, d(u)+d(v)?n （*） 则G有哈密尔顿回图。 证明.反证法, 若存在满足（*）的图G，但是G没有Hamilton回路. 不妨假设G是边极大的非Hamilton图，且满足（*）。若G不是边极大的非Hamilton图，则可以不断地向G增加若干条边,把G变成边极大的非Hamilton图G’，G’依然满足（*），因为对?v?V(G), dG(v)?dG’(v)。 设u, v是G中不相邻的两点，于是G+uv是Hamilton图，且其中每条Hamilton回路都要通过边uv. 因此，G中有起点为u，终点为v的Hamilton通路:  Ore定理的证明 u=v1 vi-1 vi v=vn 不存在两个相邻的顶点 vi-1和vi,使得vi-1与v相邻且vi 与u相邻. 若不然, (v1,v2, … vi-1, vn, …, vi, v1)是G的Hamilton回路. 设在G中u与vi1, vi2, …, vik相邻, 则v与vi1-1, vi2-1, …vik-1都不相邻, 因此d(u)+d(v) ?k