624曲面积分的应用.DOC

第六章　三重积分 2、掌握计算三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算方法。 3、理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 4、掌握计算两类曲线积分的方法。 5、熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。 6、了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分。 7、知道散度与旋度的概念，并会计算。 8、会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量。 教学重点： 1、三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算。 2、三重积分的几何应用及物理应用。 3、两类曲线积分的计算方法； 4、格林公式及其应用； 5、两类曲面积分的计算方法； 6、高斯公式、斯托克斯公式； 7、两类曲线积分与两类曲面积分的应用。 教学难点： 1、两类曲线积分的关系及两类曲面积分的关系； 2、对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算； 3、应用格林公式计算对坐标的曲线积分； 4、应用高斯公式计算对坐标的曲面积分； 5、应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。 6.1 三重积分，当的质量是均匀分布时，则的质量的体密度的体积.若的质量不是均匀分布的，则不能用上式算质量. 设空间立体，其质量非均匀分布，体密度连续，求的质量. （i）将分成个小立体，记表示的体积.由于连续，从而当很小时，在上的变化不大，可近似看作不变； （ii）即，以作为的体密度，从而的质量； （iii）因此，的质量； (iv) 若记为的最大直径，则. 二. 三重积分定义 抛开上述问题的具体意义，对照二重积分的被积函数是一个二元函数，它的积分域是—平面区域. 如果考虑三元函在一空间区域上的积分就可得到三重积分的概念设函在空间有界闭区域任意划分成n个子域，，…，，它们的体积分别记作在每一个子域上任取一点并作和数如果不论怎样划分点怎样选取，当而且最大的子域直径时，这个和数的极限都存在，那末此极限就称为函数在域上的三重积分记作即． 如果在域上连续此三重积分一定存在??　对于三重积分没有直观的几何意义但它却有着各种不同的物理意义三重积分的计算直角坐标系中三重积分的计算方法这里我们直接给出三重积分的计算公式具体它是怎样得来的请大家参照有关书籍直角坐标系中三重积分的计算公式为：， 其中是将闭区域投影到面上所得到的平面闭区域．此公式把一个三重积分转化为一个定积分与一个二重积分的问题，根据我们前面所学的即可求出投影的面不同，相应地可把三重积分转化为其他不同顺序的积分． 例，其中是由平面及所围成的区域.解把化为先对，再对和的次积分应把投影到平面上求出投影域它就是平面与平面的交线和轴轴所围成的三角区域. 为了确定出对积分限在固定点通过此点作一条平行于的直线,它与上下边界的交点的竖坐标：z=0与z=1-x-y这就是对z积分的下限与上限，于是由积分公式得：， 其中为平面区域：，如下图红色阴影部分所示： 再把域上的二重积分化成先对后对的次积分，得 二. 柱面坐标系中三重积分的计算法我们先来学习一下空间中的点用极坐标的表示方法?? 平面上点可以用极坐标来确定因此空间中的点可用数组来表示显然空间的点与数组之间的对应关系是一一对应关系数组称为空间点的柱面坐标它与直角坐标的关系为：??????????????? 构成柱面坐标系的三族坐标面分别为：常数：以轴为对称轴的同轴圆柱面族常数：通过轴的半平面族常数：与轴垂直的平面族.因此每三个这样的坐标面确定着空间的唯一的一点由于利用了圆柱面所以称为柱面坐柱面坐标系下三重积分的计算公式为 其中的积分限是根据在区域中的变化范围来确定的．这就是把三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的三次积分公式． 例，其中是由面所围成的区域.解把投影到面上，得半径为的圆形闭区域 在内任取一点，过此点作平行于轴的直线，此直线通过曲面穿入内，然后通过平面穿出外．因此闭区域可用不等式 来表示．于是 曲面积分 常见曲面及方程 在解析几何中，曲面或曲线都看作是点的几何轨迹. 如果曲面与三元方程 （1） 之间有下述关系： （1） 曲面上任一点的坐标都是方程（1）的一组解； （2）任一由方程（1）的解构成坐标的点都在曲面上， 则称方程（1）为曲面的方程，而曲面就叫做方程（1） 的图形. 一. 平面及其方程 垂直平面的非零向量称为平面的法向量. 显然，一个平面的法向量有无穷多个，它们之间相互平行. 图6-1 已知平面