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3-7 复合关系和逆关系 一、复合关系 引例：a，b，c三人，a，b是兄妹关系，b，c是母子关系 则a，c是舅甥关系。 设R表示兄妹关系，S表示母子关系， 则R与S的合成关系就是舅甥关系， 而S与R合成是母女关系； 如果R是父子关系， R与R合成是祖孙关系了。 1. 概念 定义：设R为X到Y的关系，S为从Y到Z的关系，则RoS称为R和S的复合（或合成）关系，表示为：RoS={x,z?x?X,z?Z,?y?Y,使x,y?R,y,z?S} 说明： R与S能进行复合的必要条件是： R的值域所属集合Y与S定义域所属集合Ｙ是同一个集合，否则就不能复合。 例：A={1,2,3,4,5}，B={3,4,5},C={1,2,3}，R是A到B的关系，S是B到C的关系： R={x,y|x+y=6}={1,5,2,4,3,3} S={y,z|y-z=2} ={3,1,4,2,5,3}求A到C的复合关系RoS。 解：从有序对中有哪些信誉好的足球投注网站： ∵1,5∈R,5,3∈S,∴1,3∈RoS ∵2,4?R,4,2?S,∴2,2?RoS ∵3,3?R,3,1?S,∴3,1?RoS 从而RoS={1,3,2,2,3,1} 另可以用推导: ∵x+y=6,y-z=2,消去y得x+z=4 ∴ RoS={x,z|x+z=4}={1,3,2,2,3,1} 例：集合A={a,b,c,d,e}，R={a,b,c,d,b,b}， S={d,b,b,e,c,a}，求RoS,SoR,RoR,SoS 解：RoS={a,e,c,b,b,e}，SoR={d,b ,c,b}， RoR={a,b,b,b}、SoS={d,e} 说明：关系的复合不满足交换律。 R是A到B的关系，S是B到C的关系，RoS是可以的， 而SoR根本不能复合； 若A=C，则RoS是A上的关系，SoR是B上的关系，根本不可能相等； 若A=B=C，则R、S均为A上的关系，RoS和SoR也是A上的关系，但一般地RoS?SoR，从例子中可以看出。 例：集合A={0,1,2,3,4}， R和S是A上的关系， R={x,y|x+y=4}={0,4,4,0,1,3,3,1,2,2}  S={x,y?y-x=1}={0,1,1,2,2,3,3,4} 求RoS、SoR、RoR、SoS、(RoS)oR、Ro(SoR) 解：RoS={4,1,1,4,3,2,2,3}={x,y?x+y=5} SoR={0,3,1,2,2,1,3,0}={x,y?x+y=3} RoR={0,0,1,1,2,2,3,3,4,4}={x,y?x-y=0} SoS={0,2,1,3,2,4}={x,y?y-x=2} (RoS)oR={4,3,1,0,3,2,2,1}={x,y?x-y=1} Ro(SoR)={4,3,3,2,2,1,1,0}={x,y?x-y=1} 2.复合关系的性质 1) 若 Ran(R)?Dom(S)= ? ，则RoS=?。 2) Dom(RoS)?Dom(R)，Ran(RoS)?Ran(S)。 3) R是X到Y的关系，则IXoR= RoIY =R，?oR= Ro?= ?。 设R1是从集合X到Y的关系，R2,R3是从集合Y到Z的关系，R4是从集合Z到W的关系。 4) 若R2?R3，则：R1oR2?R1oR3， R2oR4?R3oR4 5) ① R1o(R2∪R3)=(R1oR2)∪(R1oR3) ② R1o(R2∩R3)?(R1oR2)∩(R1oR3) ③(R2∪R3)oR4=(R2oR4)∪(R3oR4) ④(R2∩R3)oR4?(R2oR4)∩(R3oR4) 6) (R1oR2 ) oR4=R1o(R2oR4 ) 证明：在此只证明5) ①和6） 5）① ?x,z∈R1o(R2∪R3) ? ?y∈Y,x,y∈R1∧y,z∈(R2∪R3) ?x,y∈R1∧(y,z∈R2∨y,z∈R3) ?(x,y∈R1∧y,z∈R2)∨(x,y∈R1∧y,z∈R3) ?x,z∈R1o R2∨x,z∈R1o R3 ?x,z∈(RoS)∪(RoT) 从而 R1o(R2∪R3)? (R1oR2)∪(R1oR3) 以上各步均可逆 ,从而(R1oR2)∪(R1oR3) ? R1o(R2∪R3) ∴ ①成立。 说明： ② R1o(R2∩R3)?(R1oR2)∩(R1oR3) ④(R2∩R3)oR4?(R2oR4)∩(R3oR4)中是子集关系，不能改成等号。 例如：令A={a,b,c,d}，R={a,b,a,c}，S={b,d}，T={c,d}都是A上的关系。 则Ro(S∩T)=R∩{ }={ } 而(RoS)∩(RoT)={a,d}