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第八章 复合材料细观力学基础 §8-1 引言 §8-2 有效模量理论 由Eshelby的研究得出扰动应变和特征应变的关系为： 其中四阶张量Sijkl称为Eshelby张量，仅与基体的材料性能和夹杂物的形状和尺寸有关。如果夹杂物的形状为椭球，则夹杂内的应变和应力场是均匀的。关键在于如何求得特征应变的值。利用等效夹杂理论有： （*） 将（*）代入该式则可求得特征应变，进而求得夹杂内外的弹性场。 2、单向短纤维复合材料的弹性性能预测 2a 1 3 2 2b 设沿1方向作用均匀应力 求 和 因为材料内部有： 表示平均值。 只需求得材料内的平均应变 即可求得该材料的有效模量。 由Eshelby夹杂理论可得： 其中f为纤维体积分数； 即特征应变。 对椭圆形夹杂，Eshelby已经证明 在夹杂内部 是均匀的，而在夹杂以外为零，且有： 其中 为Eshelby张量； 为因夹杂的出现而 形成的干扰应变； 为无限远处的均匀应变； 为基体材料的弹性张量； 为夹杂的弹性张量。 联解上式可得到 。 由此可得： 若求出 ，则： 1 3 2 1? 3? 2? 2、斜向纤维情况： 先在 坐标系下求得： （方法同前） 然后利用坐标变换求得 （为θ角的函数） 仍利用 和 求有效模量，注意此时的模量为θ角的函数。 3、随机分布短纤维复合材料： 对不同的θ角，按前述方法求得其 然后对其求对于θ得平均值： 在 作用下可求得 和 ，进而求得 和 。最后可得： 注意：上述计算均未计及纤维之间的互相作用。 由前面的分析可知 三、数值计算方法（有限元法） ；而 该积分的值可由FEM进行数值计算，即有： p为离散的单元号，n为单元总数。 只需求出了 和 ，即可得： 对复合材料有效性能的计算均需要建立一定的体积代表性单元，如： 单向短纤维复合材料的理想化模型 三维代表性体积单元 所有的计算都是基于上述代表性体积单元。对随机分布短纤维复合材料的处理方法与前一致。 不同的方法得到的结果不同，见下表。 -- 78 83 88 -- 78 83 88 -- 78 88 夹杂理论 -- 76 80 84 -- 76 80 84 -- 76 84 H-T方程 -- 85 93 102 -- 85 93 102 -- 85 102 混合律 70 78.1~80.2 85.2~89.8 94.2~97.2 70 78.9 87.4~89.2 94.8~95.6 70 73.6~75.0 80.6 -- 81.4 87.7 93.9 -- 81.4 87.7 93.9 -- 81.4 93.9 0 10 15 20 0 10 15 20 0 10 20 ?-Al2O3f/Al-5.5Mg ?-Al2O3f/Al-5.5Zn ?-Al2O3f/Al-12Si 测量 FEM Vf 复合材料 §8-5 复合材料强度的细观力学分析 §8-5-1 长纤维复合材料的强度材料力学分析 、纵向拉伸强度X 由图a所示模型的平衡，复合材料的应力 与 纤维和基体应力的关系为： 当复合材料的破坏由纤维控制，即纤维达到其 破坏应变 （对应的应力为 ）时，复合 材料达到应力极限值为： （*） 但当纤维破坏后（ 时），基体将承担全 部载荷，此时复合材料的极限应力为： 由图c可见： 1、当 时， 复合材料强度由基体控制 2、当 时， 复合材料强度由纤维控制 3、当 时， 说明复合材料强度低于基体本身强度，纤维未增强。 4、当 时， 说明复合材料强度高于基体本身强度，纤维增强。 一般来说很小，工程中常用的 均大于 ， 复合材料的强度总由纤维控制。 二、纵向压缩强度 压缩时可能的破坏形式： ①因纤维屈曲而导致破坏； ②因横向界面拉裂而破坏； ③基体和/或纤维剪切破坏； ④纤维与基体压坏； ⑤纤维弯坏等等； 下面只介绍根据纤维屈曲理论得到的结果： 两种模型： a）横向型（拉压型）：“异向”屈 曲，基体横向受拉压作用； b）剪切型：“同相”屈曲，基体受剪切作用。 （1）横向型 可求得： 其中：l为纤维长度，h为纤维直径，2c为纤维间距，m为屈曲时的半波数目。 由于m为一很大的数，可对上式进行连续函数求解最小值，可得： 其中， 最后有： 其中 。若 ，则上式可变为 （2）剪切型： 同理可得： 为半波长（h）, 后一项可略去。 三、横向拉伸