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试说明以线段ef,ae,bf为边能否构成 篇一：第1.2章习题解答 平几习题集解答 第一章习题 练习1（面积法） 1． 已知：点E、F分别在平行四边形ABCD的边DC和BC上，且AE=AF，DG⊥AF，BH⊥AE，G、H是垂足。求证：DG=BH。 A证明：连DF、BE，那么 S?ABES?ADF 1 ?AB?ADsin?DAB,2 1 ?AD?ABsin?DAB,2 C 所以 S?ABE?S?ADF。 但S?ABE? 11 AE?BH,S?ADF?AF?DG,AF=AE，于是BH=DG。 22 2. 设AD为ΔABC的中线，F为AD的中点，连结BF并延长交AC 求证：EC=2AE。 证明：因为BD=DC，AF=FD，故 AES?ABE1SAF1 ?? ??ABE??。 CES?CBE2S?BDE2FD2 3．已知平行四边形ABCD中，E、F分别在CD、AD上，AE和CF相交于G，且AE=CF。 求证：GB平分∠AGC。 证明：连BE、BF，则 S?BFC? 1 ?BC?ABsin?ABC?S?AEB。 2 1 ?CF?BGsin?BGC,2 1 ??AE?BGsin?AGB,2 C 另一方面， S?BFC?S?AEB 所以 sin∠BGC=sin∠AGB，即∠BGC=∠AGB。所以BG平分∠AGC。 4．P是ΔABC中∠A的平分线上任意一点。过C引CE//PB，交AB的延长线于E，过B引BF//PC，交AC的延长线于F。求证：BE=CF。 证明：如图， CGBEBHFC ， ?,? GABAHAAC 故 1? AHBDCGACBDBE ?????HBDCGACFDCAB BEBDACBE????,CFDCABCF 所以BE=CF。 5．E、F是任意四边形ABCD的对边AD、BC的中点，M为对角线BD延长线上任一点。若直线ME、MF分别与AB、CD相交于P、Q两点。求证：EF平分PQ。 证明：由P、E、M共线，得 AEDMBPBPMB 。 ???1，故? EDMBPAAPDM 由F、Q、M共线，得所以 CQBP 。 ? QDAP CQMBBFCQDM 。 ???1，故? FCQDMBQDDM 因为AE=ED，BF=FC，所以PN=NQ。 6．AD是ΔABC的中线，过B点的直线交AD于E，交AC于F。求证：证明：因为CD=DB，所以 SBES?BDEAC ???DEC?。 EFS?FDES?DEFAF BEAC ?。 EFAF 7．P是平行四边形ABCD对角线BD上任一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F。求证：PE ：PF = BC ：AB。 证明：因为ABCD是平行四边形，故 S?APBBP?ABsin?ABP ??1。 S?BPCBP?DCsin?BDC 另一方面，由PE⊥AB，PF⊥BC，知 S?APBPE?ABPEBC ?，所以 。 ?S?BPCBC?PFPFAB 8．ΔABC中，∠ACB=900，AC=BC，D为BC中点。作CE⊥AD，分别交AB、AD 于E、F。求证：AE=2BE。 证明：因 为CD=BD，故 SSAES?ACEAF ???ACE???AFC。 EBS?CEB2S?CDE2DF2S?CFD 另一方面，AC⊥CD，CF⊥AD，故ΔAFC∽ΔCFD。所以 S?AFC?AC? ????4。 S?CFD?CD? 2 故AE=2EB。 9．已知：在ΔABC中，AB=AC，P为BC上任意一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E， BF是AC边上的高。求证：PD+PE=BF。 证明：连AP，那么由 S?ABC?S?ABP?S?ACP， 得AC·BF=AB·PD+AC·PE。 又因为AB=AC，所以PD+PE=BF。 10．设O是ΔABC内任一点，AO、BO、CO的延长线分别交对边于D、E、F。求证： AOBOCO ???2。 ADBECF 证明：如图， AOBOCOS?ABC?S?BOCS?ABC?S?COAS?ABC?S?AOB ?????ADBECFS?ABCS?ABCS?ABC S?S?COA?S?AOB ?3??BOC?2。 S?ABC 11．设线段OA的中点为M，过A的任意直线与过O的任意（位于OA的两侧）的两直线分别相交于P、Q，Q在线段AP上，PM与OQ交于R，QM与OP交于S。求证：OPOQ ??3。 PSQR 证明：因为M是OA的中点，故根据平行四边形PNRQ的调和性知NQ//OA。同理，PT//OA。于是 OQOR?RQOROA ??1??1?RQRQRQNQ PQ?QAQAAP ?1??1??2? PQPQPQ