极限值与连续性.PDF

13.2 極限值與連續性 Limits and Continuity Copyright © Cengage Learning. All rights reserved. 目的 了解平面中鄰域的定義 了解雙變數函數的極限值定義 延伸連續性的概念至雙變數函數 延伸連續性的概念至三變數函數 2 平面中的鄰域 Neighborhoods in the Plane 3 平面中的鄰域 用平面上的點(x , y ) 與點(x , y )之間的距離公式，可以定義 0 0 點(x , y ) 的δ-的鄰域(δ-neighborhood) ，其中(x , y ) 是圓盤 0 0 0 0 (disk)的中心、半徑δ 0 ，滿足 。 4 平面中的鄰域 當半徑 δ ，得到的集合為開圓盤(open disk) ；如果半徑≤ δ ，則是閉圓盤(closed disk) 。 如果存在一個點(x , y ) 的鄰域完全地落在區域R 內，則點 0 0 (x , y )是R的一個內部點(interior point) 。 0 0 而如果任何一個點(x , y ) 的鄰域，鄰域 0 0 部分的點在R 內且部分的點在R 外，則 點(x , y )是R的一個邊界點 0 0 (boundary point) 。如右圖: 5 平面中的鄰域 如果R的每一點都是R的內部點，那麼R就是開區域。 藉由定義，一個區域必須包含內部的點，但不必然包含其 邊界上的點。 如果區域包含所有的邊界點，那麼這個區域是封閉的。 一個區域包含它的部分邊界點(並非全部邊界點) ，則不是 開放區域、亦非封閉區域。 6 雙變數函數的極限值 Limit of a Function of Two Variables 7 雙變數函數的極限值 定義: The Limit of a Function of Two Variables 設f 為一個雙變數函數定義在一個以點(x , y ) 為中心的開圓 0 0 盤(但中心點可能挖空) ，且L是實數。如果 對於任意的 ε 0，都有一個對應的 δ 0 使得， 當 0 (x −x0 )2 +(y −y0 )2 δ 時， 滿足 f (x ,y ) −L ε 。 則 。