梁的挠曲.DOC

第12章、樑的撓曲 學習目標： 使用下列分析法，求樑與軸在特定位置的撓曲與斜度： 積分法(Integration method) 重疊法 (Method of superposition) 使用相同分析法處理靜不定樑與軸的支撐點反力 課程章節： 彈性曲線 (The Elastic Curve) 使用積分法求撓曲與斜度 (Slope and Displacement by Integration) 使用重疊法求撓曲與斜度 (Method of Superposition) 靜不定樑與軸 (Statically Indeterminate Beams and Shafts) 使用積分法處理靜不定樑與軸問題 (Statically Indeterminate Beams and Shafts: Method of Integration) 使用重疊法處理靜不定樑與軸問題 (Statically Indeterminate Beams and Shafts: Method of Superposition) 12-1、樑彎曲與力矩關係： 左圖： AC為”負”彈性曲線 相對應力矩為”負” CD 為”正”彈性曲線 相對應力矩為”正” 彈性曲線：指所有樑x斷面形心，沿著樑橫向的連線。 圖示說明： 圖(a) x軸沿橫向，在距離中性軸y高度位置，不變形前寬度 圖(a) 彎曲彈性曲線為正，承受正力矩 由圖(b) 知， 由變形定義： 由彎曲應力公式： 則求得； 曲線公式 ，則曲線的曲率公式 在彎曲量很小情況， (撓曲主要公式) 12-2、樑撓曲的公式 (12-5) 由力矩、剪力、及分佈力密度關係： 得到 (12-8) (12-9) (12-10) 由 (12-8)~(12-10) 公式解撓曲量函數，基本上這是一邊界值問題的 微分方程式，需要有邊界條件配合處理積分常數。 基本的邊界條件如圖所示： 右圖說明： 受P力的簡支樑，在B點的撓曲量為v，斜度則為圖示的值。 解析程序： 定出座標：x軸沿變形前的樑的橫向，撓曲v則沿縱向。 畫出彈性曲線，定出彈性曲線的邊界條件。 若有不連續的情況，定義出分段連續的有效區間。 計算任意位置的力矩函數。 力矩的正、負性如圖所示 使用(12-8)~(12-10) 公式解撓曲量函數 使用邊界條件定出積分常數。 將指定的位置座標代入函數及，求撓曲量、斜度。 例、12-1 圖示的懸臂樑在端點承受一垂直壓力P，試計算彈性曲線的函數？ 【解】 將座標原點建立在受力端點 彈性曲線的邊界條件 計算函數 使用(12-10) 求撓曲量函數 則 邊界條件定出積分常數 ； ；， 解出函數及 A點位置的撓曲量、斜度 ， ， 表示逆時針方向 ， ， 表示撓曲量向下 【另解】 分佈力密度 ，在時， 得 ， 則 在時， 得 ， 其餘計算與上述相同。 例、12- 2 簡支樑承受三角形分佈負載如圖所示，求最大的撓曲量？ 【解】 由於對稱的緣故我們只需計算的部份 彈性曲線的邊界條件，； 分佈負載 由圖(b) ； 使用(12-10) 求撓曲量函數 邊界條件，； ， 最大的撓曲量發生於； 【另解】 分佈力密度 ； ， ， 在時， 得 ， 則 在時，， 得 其餘計算與上述相同。 7