数学娱乐(一)——夫妻问题的新解与应用.pdf

第25卷第4期 海南大学学报自然科学版 V棋．25No．4 NATURALSCIENCE OF狂筮懋I]A茂{璎臃辎糕Y Dec，20。7 2007零12秀 JOURNAL 文章编号：1004—1729(2007)04—0321～04 数学娱乐(一)——夫妻问题的新解与应用 耿 济 (海凌大学瑗王学院，海燕海疆570228) 摘要：夫漤问题是一个数学游戏，笔者通过圆组合概念和嘲组合公式获得4种新解，最后指出在组合计算 上豹痘矮。 荚键词：夫娶问题；圆缀合；新解；应用 中囱分类号：0157 文献标识码：A des 多对夫妻问题(Probl奄me m6nages)是丽外的一个数学游戏，现在把原问题的内容略加改动并叙述 如下： 设托，k为正整数，面EL弹≥2k。蘸桌有It个坐位，k对夫妻入坐聪，要求每位丈夫的左邻是链的妻子；当 k1时，任意2对夫妻交换坐位都算作相同嫩法，闷有几种不同坐法? 又当k=0时，圜桌上没有人坐，也算终1种坐法。 侈|j子 3对夫妻坐在8个席位的圆桌上，共有几种不同坐法? 解 首先，指定圆桌上某坐位为第1席，按顺时针方向依次确定第2席、篇3席直至第8席；3对夫妻 表示为Al君l，A2器2，A3君3。 夫妻交换坐位都算作穗冠的，所叛只要把3位丈夫安接在l席、3席、5席上，邂为l，3，5． 最后，采用以上记法，不同的坐法为 4，6，8等16种． 本文的目的，一方面是通过圆组合概念，给蹴夫妻问题4种新解；另一方面指出夫妻闻题在实际应用 上的意义． { 夫妻问题的薪解 夫妻问题在1943年由KaplanskyI解决…，现在把具体的夫妻问题转化成抽象的数学问题，笔者提出 下覆的概念弘一3． 定义 集合{1，2，3，…，n}中所有元素按照顺时针方向依次排列在圆周上，使得首尾两元素相邻，即 元素l与n相邻，在圆周上任取一组元素，要求符合条件(1)不计次序；(2)不含相邻的两元素，称为阙组合． 赢此可知，嚣桌有瑶个坐位，k对夫妻静不辩坐法，就是撵个元素任取k个元素的添缝合，记为|?|。 ‘拭。 接着谈谈夫妻问题的4种新解． 熊法{ 首先，把玮个元素中饪取k个元素的圆缝合数|1，7,l孛每缓k个元素重薪排酬成k秭不网形式， 羧穗丑期：2007一∞一l_5 作者简介：耿济(1929一，勇，江苏镇注入，海南大学理工学院教授． 322 海南大学学摄自然辩学叛 2007年 使得该组k个元素依次出现在第1个元素的位置上，其余各元素的次序不变，因此重新排列的组数为 其次，再把重新排列的kI?I组分成总类，要求第1类含有元素1，第2类含有元素2，如此类推，赢至第 危类含有元素n，此时每l卷中都有(冲晟-一k_1)缱· 事实上，每1类中既含肖1个指定元素，又不含相邻的蠢个元泰现在从站个元素中减去蠢+1个元素 得蓟砧～矗一1个元素，再扶站一露一1个元素审任取庭一1个元素，甍求“不计次序”，但不要求“不含相邻 元素”，这是普通组合问题，该类含有f尥：丘=_1)组． 1)． 最后，综上所述，得到而【：】=n(魏J|}-一k-，1)，就有【：】=詈(辟后-一k-1 解法2拜个元素中任取蠢个元素的圜组合数为}?{．电于不镌选敬摆邻的壹个元素，只能默站一k个 元素中任取k个元素，现在分2种情况来考虑： 第1耪情况，不含指定麴一个元素，郄从穗一k个元素孛任取k个元素的普通组合数为{n：{； 1个元素中任取是一1个元素的普通缀合数力f站：岔=-1{。 因此嘲=(n∽+(n：兰H 鼹法3 瑰在分3个步骤来叙述：