数学娱乐(九)——学习《九章算术》的收获.pdf

第29卷第4期 海南大学学报自然科学版 V01．29No．4 SC瑶NCEJoI腿NALoF弛如妣NIn唧ER戤TY D∞．20ll 2011年12月NA-rI瓜AL 文章编号：1004—1729(2011)04一0297一08 数学娱乐(九) ——学习《九章算术》的收获 耿 济 (海南大学，海南海口570228) 摘要：学习《九章算术》的弓形和勾股形，推陈出新获得1r展开式和不定方程的解等结果． 关键词：弓形；勾股形；展开式；不定方程 中图分类号：O119 文献标志码：A 本文是数学娱乐系列文献[1—8]的续作． 世界数学史上影响深远的巨作是《九章算术》与《几何原本》．日本数学史家小仓金之助指出：《九章 算术》是“中国的欧几里得．”即《九章算术》是中国的《几何原本》，这两部著作已有许多不同文字的译本， 在世界上广泛流传．《九章算术》代表东方数学，是数学机械化算法体系，具有理论联系实际的特点；《几何 原本》代表西方数学，是公理化演绎体系，具有人脑思辨产物的特点，以上2种体系在数学长期的发展过 程中交替地出现成为主流． 《九章算术》源远流长，远在西周(公元前1046年一公元前771年)时代贵族子弟教育的6门课程 “礼、乐、射、驭、书、数”，“数”指数学，“数”又有“九数”之称，“九数”指数学内容分为“方田、粟米、差分、 少广、商功、均输、方程、盈不足、旁要”等9部分，这是《九章算术》最早的雏形，正如古代著名数学家刘徽 所指：“九数之流，则九章是矣．”春秋(公元前770年～公元前476年)时代周朝王权衰微，五霸兴起，社会 经历大变革．以农业为例，原来实行的井田制开始废除，齐恒公实行按亩征收租税，鲁宣公实行“初税田”， 反映当时数学上已提供计算各种形状耕地面积的方法，因此“方田”的内容得到补充．战国(公元前475～ 公元前221年)时代七雄鼎立，学术上百家争鸣，有助于抽象思维能力的提高，为数学的发展起着积极的 推动作用，因此“九数”发展到“九章”． 《九章算术》现传本是西汉(公元前206年一公元8年)时代张苍、耿寿昌编写，一方面根据先秦《九章 算术》残本加以整理，另一方面补充新的数学知识而成，共分9卷，即方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、 盈不足、方程、勾股等内容．古代数学家刘徽又指出：“故校其目则与古或异，而所论者多近语也”． 本文目的通过《九章算术》中的弓形问题和勾股形问题推陈出新，获得下述结果． 1 弓形问题 《九章算术》卷第一“方田”中35、36两题p]： “今有弧田，弦三十步，矢十五步，问为田几何?答日：一亩九十七步半． 又有弧田，弦七十八步二分步之一，矢十三步九分步之七，问为田几何? 答日：二亩一百五十五步八十一分步之五十六． 术日：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．” 古代的“弧”形，就是现代的弓形，如图1所示． 收稿日期：2011一∞一31 作者简介：耿济(1929一)，男，江苏镇江人，海南大学教授，国务院(1992年)颁发的政府特殊津贴专家． 298 海南大学学报自然科学版 2011年 ————————————————————————————————————————————————————————————————一一 称口为弦，6为矢，且o6≤詈．当6=孚时是半圆．古代弓形 面积就是从半圆面积在“周三径一”即圆周率叮r=3的结果下 推导得到 s一÷(口6+62)， 图1古代的“弧”形 这就是说，弓形面积等于“以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一． 上述公式多次得到改善． 1303年朱世杰《四元玉鉴》中得到 s一丢(Ⅱ6+62+去62) 或 s2寺(口6+6