数学娱乐(二)——牙牌问题的新证与推广.pdf

第26卷第3期 海南大学学报自然科学版 V01．26No．3 UNIVERSITY 2。008年9月 NATURALSCIENCEJOURNALOFHAINAN Sep．2008 文章编号：1004—1729(2008)03—0216—04 数学娱乐(二)——牙牌问题的新证与推广 耿 济 (海南大学信息科学技术学院，海南海口5700228) J，…，【％．1a弛，口lJ，(2≤k≤10)，要求每组含有数字1，2，3，4， 排成圆形，这里的七组[Ⅱ。，口2，％]，[03，口4，a5 关键词：牙牌问题；集合；数对；圆形排列；推广 中图分类号：O157 文献标识码：A 本文是数学娱乐(一)的续作…． 牙牌又名骨牌，中国民间休闲娱乐的工具，如过五关斩六将、接龙、推牌九等． 有关牙牌的古代记载，根据《正字通》一书内容旧J，抄录如下： “牙牌，今戏具．俗传宣和二年(1120年)，臣某(宋司马温公)疏请设牙牌三十二扇，计点一百二十有 七．以按星宿布列之，依天牌二扇二十四点，象二十四气；地牌二扇四点，象东西南北四方；人牌二扇一十 六点，象仁义礼智发为四端(发而为恻隐羞恶辞让是非)；和牌二扇八点，象太和元气流行八节之间，它牌 各有名称．四人同铺，每一人以扇为率，分点数多寡为负胜，胜者赏筹．高宗时诏如式，颁行天下．今谓之骨 牌，然皆博塞格五之类，非必自宣和始也．” 笔者认为牙牌是从唐宋的骰子发展而成．唐代诗人白居易有“醉翻衫袖抛小令，笑掷骰盘呼大采”的 诗句．两者之间的关系：任何两个骰子适当的并起来就是一张牙牌，任何一张牙牌也能用两个骰子表示．宋 代牙牌发明以后，再与当时的马脚牌等融合产生麻将牌，麻将牌中的“筒子”或“并子”是从牙牌和骰子演变 而来，因此麻将牌出现的时间上晚于牙牌．以2008年而言，牙牌发明已有888年，麻将牌约有800年的历史． 20世纪50年代笔者任教上海交通大学期间，当地房地产公司鲍忠祥先生反映《申报》上曾有人提出 一个牙牌问题： 全副牙牌32张，除去上、下点数相同的12张后，把剩下的20张排成圆形，指定某张开始数起，第1张、 为一组，共有10组，要求每组含有点数1，2，3，4，5，6．试求圆形排列． 1959年笔者探讨上述问题时[2】，叙述较繁，证明有误．本文目的运用数学推理方法给出牙牌问题的新 证；同时把这一问题加以推广，获得推广的结果有3种类型，即唯一解、多组解和无解． 1 牙牌问题新证 首先，叙述几个概念． 任何一张牙牌的上、下点数为口、6时，这里1≤口，b≤6，称口，b为数对，记为(口，6)，规定口≤b．例如 图的数对为(3，4)．全副牙牌32张中除去上、下点数相同的12张外，把剩下的20张用数对表示出来，就有 收稿日期：2008—03—16 作者简介：耿济(1929一)，男，江苏镇江人，海南大学信息科学技术学院教授． 第4期 耿济：数学娱乐(--) 217 是成群时，称为圆形排列．在圆形排列中任何成群的3个数对与前、后2个成群中各有一个相同的数对，称 相同的数对为连结数对． 其次，A中含有数字1的数对有8个，数字2的数对有5个，数字3的数对有6个，数字4的数对有6个， 数字5的数对有7个，数字6的数对有8个(见表1)． 表1 20个数字与总数之间的关系 A的圆形排列中出现10个连结数对，它们的全体记为集合B，显然B为A的子集．通过A知道曰必具 条件(见表2)． 表2 10个数字与总数之间的关系 这里表1与表2中对应数字的总数相加等于10． 现在根据表1与表2来确定B． 其余5个数对适合条件(见表3)． 表3 5个数字与总数之间的关系 表3的5个数对． 的数对1个是(3，4)，另外2个是(1，4)，(3，6)或者(1，3)，(