“借形解数”：进一步发展学生的几何直观能力.docVIP

“借形解数”：进一步发展学生的几何直观能力 　　几何直观在整个数学学习过程中发挥着非常重要的作用。它不但可以帮助学生理解和解决几何问题，而且可以用来描述和分析数与代数的问题，使数与代数中一些抽象的问题直观化，达到化繁为简的目的。数学家徐利治教授认为：几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系，产生对数量关系的直接感知。教材中有许多数与代数的知识点，可以借助几何直观，让学生从全新的角度重建相应的认知结构，展开一系列具有想象力和创造力的探索活动，意义非凡。现以“解决问题的策略――转化”为例，谈谈如何“借形解数”：进一步发展学生的几何直观能力。 　　一、将数转译成形，丰富直观感知 　　几何直观是一种运用图形认识事物的能力，或者说是一种解决数学问题的思维方法。也就是通过几何直观的感知能够建立起人对自身体验与外物体验的对应关系。在数学教学中，教师可以将数转译成形，丰富直观感知。“解决问题的策略――转化”的例题是一道特殊的分数连加，学生尝试计算时都会采用先通分再相加的方法，如何才能使学生想到把复杂的加法算式转化成简单的减法来计算，是本题的教学重点和难点。教师可以利用此类题目的特点，先让学生从观察算式入手，发现算式的特殊性，再出示更复杂的算式让学生产生探索简单方法的需要，最后引导学生将数学知识的言语表征转化成表象表征。在这里将数转译成图形是解题的关键，教师要巧妙地让学生把图形和算式联系起来想一想，结合图形多角度探究简单的计算方法。 　　出示例题：+++。 　　师：请同学们观察算式，你有什么发现？ 　　发现1：4个分数连加，每个分数的分子都是1； 　　发现2：分母是有规律排列的，依次是2、2×2、2×2×2、2×2×2×2； 　　发现3：合起来看，是的一半，是的一半，是的一半； 　　…… 　　小结：像这样从起，依次加上前一个分数的一半的连加算式，你会计算吗？ 　　学生几乎异口同声：先通分再计算。 　　师：同学们，学得不错。你们其实已经用上了一种解决问题的策略。把异分母分数加法转化成了同分母分数加法，也就是先通分再相加。如果按加数的排列规律，再加上3个分数，你们准备怎么计算？ 　　出示：++++++。 　　生：先通分再相加。 　　师：还是先通分再计算，那如果一直加到呢？还打算先通分再计算吗？ 　　生：不愿意。 　　师：为什么不愿意？ 　　生：太麻烦了！老师是否有简便的算法呢？ 　　师：既然是分数连加，同学们还记得学习分数时可以怎样得到吗？ 　　生：可以把正方形看作单位“1”，平均分成2份，涂色部分就占正方形的。（师根据学生的回答依次出示直观图） 　　再分别表示出、、，接着运用动画效果叠加在一起。（如上图） 　　师：图中哪部分表示这些分数的和？ 　　生：所有涂色部分表示这些分数的和。 　　师：把算式和图形联系起来想一想，这个加法算式能转化成哪个算式来计算？ 　　生：可以用正方形面积减去空白部分的面积，即+++=1-。 　　师：那“1”是指什么？“”又是指什么？ 　　生：“1”是指整个正方形面积，“”是指空白部分的面积。从图中我们可以看出，要求这些分数的和，还可以用单位“1”减去空白部分，也就是用1-来计算。 　　二、唤醒已有认知，加强直观推理 　　直观推理作为一种渗透力极强的思维形式，可以说是数学直观的精髓。教师要为学生创造主动思考的机会，鼓励学生借助直观进行分析、想象和推理，充分发挥直观推理在发现问题、分析问题过程中的作用，这是一种行之有效的发展学生思维的方法。就学生来说，如果没有转化意识，一般不会主动考虑把问题由繁向简、由难向易地转化；如果有转化的愿望，但找不到转化的具体方向，仍然不会运用转化策略。 　　如，教学练一练2：连续自然数相加。教师先出示一个梯形图帮助学生理解转化方法，利用这幅图创设积极有趣的探究氛围，唤醒学生已有的认知，利用直观进行推理，从而了解为什么可以这样转化。 　　出示梯形图，让学生说信息。 　　师：请根据梯形图说说你知道的信息。 　　生：第一层装了6支，第二层装了7支，第三层装了8支，依此?推，共装了10层，笔架里一共有多少支铅笔？ 　　师：用加法计算怎样列式？ 　　生：6+7+8+9+10+11+12+13+14+15。 　　师：这个加法算式有什么特点？ 　　生：连续自然数相加。 　　师：是的，每两个数之间相差1，这样的加法我们称它为连续自然数相加。 　　师：把梯形图和算式联系起来想一想，这个算式可以转化成哪个算式来计算。 　　生：（6+15）×10÷2。 　　师：你根据什么想到的？ 　　生：梯形的面积计算公式。 　　师：那我们就来回忆一下梯形的面积计算公式是怎样推导的？ 　　生：再来一个完全一样的梯形笔架，两个梯形笔架拼成了一