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“列方程解决实际问题”教学中的建模 　　【摘 要】方程是从现实生活到数学的一个提炼过程，一个用数学符号提炼现实生活中的特定关系的过程。方程思想的核心在于建模。对五年级的学生来说，他们解应用题习惯了用算术方法，若要突然地插入改变这种习惯的新方法，必须让他们感受到这种新方法的优越性。从这个意义上来说，渗透代数模型的思想，体会用方程解题的优越性，应当是初学列方程解决实际问题的重心。 　　【关键词】列方程解决实际问题；建模思想；算术方法；方程方法；代数模型 　　中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2017）01-0006-03 　　列方程解决实际问题是小学数学五年级教学内容之一，是构建代数模型的启蒙。《数学课程标准》强调，方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。因此，列方程解决实际问题不仅仅是为了解题，更重要的是数学建模思想的渗透。 　　一、思维定式，算术方法“顺理成章” 　　通过课堂教学实践，笔者发现对于刚刚接触方程的五年级学生来说，选择用方程解决实际问题并非易事。 　　【案例】在学习苏教版五年级第一单元例7“列一步计算方程解决实际问题”后，完成书P11第2题： 　　学生毫不犹豫地用算式：36+16算出答案。 　　在学习苏教版五年级第一单元例8“列两步计算方程解决实际问题”后，完成书P11第7题： 　　难度加大了，但仍有学生用综合算式：（110-20）÷2算出答案。 　　【分析】是孩子们没有学懂？还是由于思维定式的影响，用算术方法“顺理成章”？通过与孩子们交流以及和同事们的讨论，笔者认识到列方程解决实际问题是在学生掌握用算术方法解决问题，初步学会解简易方程的基础上教学的。小学阶段运用列方程解答的问题一般都不太复杂，学生多半能用算术方法解决，列方程解题步骤多、书写麻烦，感觉很烦琐，所以不喜欢、不习惯用。 　　二、渗透建模，体会方程解题的优越性 　　张奠宙先生打过一个比方，如果将要求的答案比喻为在河对岸的一块宝石，那么算术方法好比是摸着石头过河：从我们知道的岸边开始，一步一步摸索着接近要求的目标；代数方法却不同，好像是将一条带钩的绳子甩过河，钩住对岸的未知数（建立了一种关系），然后利用这根绳子（关系）慢慢地拉过来，最终获得这块宝石。两者的思维方向相反，但是结果相同。学生初学列方程解题时，容易受到列算式解题的思维定式影响。因此，教学时要注意引导学生克服思维定式，渗透建模思想，使其体会用方程解题的优越性。 　　1. 合理设问 　　要使学生对“新方法”――方程的优越性有亲身感受，合理的问题设计很重要。一开始可以设计一些需要逆向思考的问题，如：张大爷用 420 米的篱笆围一块长方形的菜地，如果这块菜地的长是 70 米，那么宽是多少米？这题和以往告知长和宽要求周长的题目不同，是需要逆向思维的，这在一定程度上迫使学生积极思考：列算式解题时，未知数始终作为一个“目标”，不参与列式，并在脑中进行数量关系的变换，因而造成列式上的烦琐。而列方程解题打破了列算式时只能用已知数“长” 和“周长”的限制，可以根据需要用字母表示未知数“宽”，根据题中数量之间的相等关系，列出含有未知数的等式（即方程），题目中怎样叙述就怎样列式，一般不需逆思考。因此，列方程要比列算式思考起来更便捷，有更多的优越性。 　　2. 渗透感悟 　　列方程解决实际问题的重点是根据题目中数量之间的相等关系，运用符号语言建立数学模型――方程，这需要有一定的知识基础，比如：多边形面积公式。书中出现了这样的习题： 　　在老师的引导下，学生很顺利地用长方形、正方形面积、周长公式列方程解决了。但对学生而言，不论用方程还是算术方法都很简单，并不能立刻感受方程的优越性。所以，接着教师设计了下面这组题： 　　先请学生自由选择解法，再比较利用面积公式列方程求高和用算术方法求高，让学生感受到用算术方法解题，每一步都要进行具体分析并给出合理的解释，难度大且易出错。而一旦将未知量用字母表示并和已知量一样参加运算，就很容易建立方程，逆向思维的过程被解方程的程式化步骤所替代，无须“步步为营地逼近未知量”，只要理顺题中已知量与未知量的关系，用字母代替未知量即可，思维难度大大降低。这样，使方程思想进一步渗透到学生的知识体系中，让学生感悟到方程解题的必要性和优越性。 　　3. 体会优越 　　列方程解决实际问题存在着共同的本质――寻找等量关系，建立方程模型，这其中蕴涵了数学建模的思想。课堂教学中，教师要紧扣这一数学思想进行渗透，让学生体会方程解题的优越性。如，下面这一组题： 　　①甲乙两车同时从相距 480千米的两地出发，相向而行，甲车的速度是90千米/小时，乙车的速度是70千米/小时。经过几小时后两车相遇？ 　　②甲乙两车同时从相距 480千米的两