概率和数理统计第5章大数定律和中心极限定理习题和答案.doc

第 5 章 大数定律与中心极限定理 填空题： 1.设随机变量，方差，则由切比雪夫不等式有 . 2.设是n个相互独立同分布的随机变量，对于，写出所满足的切彼雪夫不等式 ，并估计 . 3. 设随机变量相互独立且同分布, 而且有, , 令, 则对任意给定的, 由切比雪夫不等式直接可得 . 解：切比雪夫不等式指出：如果随机变量满足：与都存在, 则对任意给定的, 有 , 或者 由于随机变量相互独立且同分布, 而且有 所以 4. 设随机变量X满足：, 则由切比雪夫不等式, 有　　　　. 解：切比雪夫不等式为：设随机变量X满足, 则对任意 的, 有由此得　 5、设随机变量，则 . 6、设为相互独立的随机变量序列，且服从参数为的泊松分布，则 . 7、设表示n次独立重复试验中事件A出现的次数，是事件A在每次试验中出现的概率，则 . 8. 设随机变量, 服从二项分布, 其中, 那么, 对于任 一实数x, 有 0 . 9. 设为随机变量序列,为常数, 则依概率收敛于是指 1 ,或 0 。 10. 设供电站电网有100盏电灯, 夜晚每盏灯开灯的概率皆为0.8. 假设每盏灯开关是相 互独立的, 若随机变量X为100盏灯中开着的灯数, 则由切比雪夫不等式估计, X落 在75至85之间的概率不小于　　　　. 解：, 于是 二．计算题： 1、在每次试验中，事件A发生的概率为0.5，利用切比雪夫不等式估计，在1000次独立试验中，事件A发生的次数在450至550次之间的概率. 解：设表示1000次独立试验中事件A发生的次数，则 2、一通信系统拥有50台相互独立起作用的交换机. 在系统运行期间, 每台交换机能清晰接受信号的概率为0.90. 系统正常工作时, 要求能清晰接受信号的交换机至少45台. 求该通信系统能正常工作的概率. 解： 设X表示系统运行期间能清晰接受信号的交换机台数, 则 由此 P(通信系统能正常工作) 3、某微机系统有120个终端, 每个终端有5%的时间在使用, 若各终端使用与否是相互独立 的, 试求有不少于10个终端在使用的概率. 解：某时刻所使用的终端数7 由棣莫弗－拉普拉斯定理知 4、某校共有4900个学生, 已知每天晚上每个学生到阅览室去学习的概率为0.1, 问阅览室 要准备多少个座位, 才能以99%的概率保证每个去阅览室的学生都有座位. 解：设去阅览室学习的人数为, 要准备k个座位. 　 查分布表可得 要准备539个座位,才能以99%的概率保证每个去阅览室学习的学生都有座位. 5．随机地掷六颗骰子 ，试利用切比雪夫不等式估计：六颗骰子出现的点数总和不小于9且不超过33点的概率。 解：设 ?表 示 六 颗 骰 子 出 现 的 点 数 总 和。 ?i，表 示 第 i 颗 骰 子 出 现 的 点 数 ，i = 1，2，…，6 ?1， ?2， … ，?6 相 互 独 立 ， 显 然 6. 设随机变量 相互独立，且均服从指数分布 为 使 ， 问： 的最小值应如何 ？ 解: 由 切 比 雪 夫 不 等 式 得 即 , 从 而 n ? 2000 ， 故 n 的 最 小 值 是 2000 7．抽样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则拒绝接受这批产品，设某批产品次品率为10%，问至少应抽取多少个产品检查才能保证拒绝接受该产品的概率达到0.9? 解： 设n为至少应取的产品数，是其中的次品数，则， ，而 所以 由中心极限定理知，当n充分大时， 有， 由 查表得 8．(1)一个复杂系统由100个相互独立的元件组成，在系统运行期间每个元件损坏的概率为0.1，又知为使系统正常运行，至少必需要有85个元件工作，求系统的可靠程度(即正常运行的概率)；(2)上述系统假设有n个相互独立的元件组成，而且又要求至少有80%的元件工作才能使系统正常运行，问n至少为多大时才能保证系统的可靠程度为0.95? 解：(1)设表示正常工作的元件数，则， 由中心极限定理可知 (2)设表示正常工作的元件数，则 9．一部件包括10部分，每部分的长度是一随机变量，相互独立且具有同一分布，其数学期望为2 mm ，均方差为0.05 mm，规定总长度为20 ± 0.1 mm 时产品合格，试求产品合格的概率。已 知 ：( 0.6 ) = 0.7257；( 0.63 ) = 0.73