第一章 计算声学中数值计算和误差分析2.ppt

§2 误差与数值计算的误差估计;§2 误差与数值计算的误差估计;§2 误差与数值计算的误差估计;§2 误差与数值计算的误差估计;误差的传播与估计 实际的数值计算中，参与运算的数据往往都是近似值，带有误差。而在进一步运算中都会产生舍入误差或截断误差，这些误差在运算过程中会进行传播，影响计算结果。 数值计算的误差估计 二元函数： ，当 、 时;§2 误差与数值计算的误差估计;§2 误差与数值计算的误差估计;§2 误差与数值计算的误差估计;§2 误差与数值计算的误差估计; 由此可以得到两近似数 的和、差、积、 商的误差估计为;§2 误差与数值计算的误差估计;例1.5 经过四舍五入得到 ， ，问他们 分别具有几位有效数字？ ， ， ， 的 绝对误差限分别是多少？;例1.6 设 ， ， 都精确到2位小数， 估计 的相对误差。; 在由误差估计式得出绝对误差限和相对误差限 的估计时，由于取了绝对值并用三角不等式放大， 是按照最坏情形得出的，所以结果是保守的。 一般来说，为了保证计算结果的精确度，在计 算过程中，比结果中所要求的有效数字位数多取1位 或2位就可以了。; 计算机只能对有限位数进行计算，从而在运算 中产生误差是不可避免的。许多实际问题的求解往 往需要进行成千上万次的数值计算，为了保证计算 结果的可靠性，必须防止误差的产生、传播与扩大 。;§3 选用和设计算法时应遵循的原则;减少运算误差的几项措施： 1.选用数值稳定的计算公式，控制舍入误差的传播； 在数值计算中，对于某一问题选用不同的算法，所得到 的结果往往不同，有时甚至大不相同。这主要是由于初始数 据的误差或计算时的舍入误差在计算过程中的传播因算法的 不同而异。对某一算法，如果初始数据的误差或舍入误差对 计算结果的影响较小，则称该算法是数值稳定的；否则，称 为数值不稳定算法。 ;例1.7 计算积分 解：由 算法一： 将 代入递推公式分别计算，由于;所以 。 的近似值所产生的误差每计算一次放大10倍，误差随n的增大迅速递增，因此算法一误差过大。 算法二 ： 由后项递推前项， 中的误差传递到 时下降为原来的 1/10。由于 令： ;代入递推公式分别计算，计算结果如表所示。 ;§3 选用和设计算法时应遵循的原则