全概率公式贝叶斯公式伯努利概型.ppt

1.5 全概率公式与贝叶斯公式 小结 第一章 小结 一、全概率公式 二、贝叶斯公式 三、伯努利概型 1. 样本空间的划分 一、全概率公式 2. 全概率公式 全概率公式 图示 证明 化整为零 各个击破 说明 全概率公式的主要用途在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题, 分解为若干个简单事件的概率计算问题, 最后应用概率的可加性求出最终结果. 例1 有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产的占 30% , 二厂生产的占 50% , 三厂生产的占 20%, 又知这三个厂的产品次品率分别为2% , 1%, 1%,问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少? 设事件 A 为“任取一件为次品”, 解 由全概率公式得 30% 20% 50% 称此为贝叶斯公式. 二、贝叶斯公式 证明 例2 商店论箱出售玻璃杯(每箱20只)，其中每箱含 0、1、2只次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，某顾 客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的， 便买下了这一箱. 问这一箱含有一个次品的概率 是多少？ 解 解 例3 由贝叶斯公式得所求概率为 即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有87人 患有癌症. 例4 解 (1) 由全概率公式得 (2) 由贝叶斯公式得 1.条件概率 全概率公式 贝叶斯公式 乘法公式 三、伯努利概型 定义 若大量重复试验满足以下两个特点: 可能的结果为有限个，且在相同的条件下重复 进行； 各次试验的结果相互独立 则称这一系列试验为独立试验序列或独立试验概型. 解 则A仅在前k次发生的概率为 由于n次试验中A发生k次的方式共有 种， 例5 (人寿保险问题)在保险公司里有2500个同年 龄同社会阶层的人参加了人寿保险, 在一年里每 个人死亡的概率为0.002, 每个参加保险的人1年 付120元保险费, 而在死亡时, 家属可在公司里领 取20000元. 问(不计利息) (1)保险公司亏本的概率是多少? (2) 保险公司获利不少于100000的概率是多少? 保险公司在1年的收入是2500?120=300000元 解 设X表示这一年内的死亡人数, 则 保险公司这一年里付出20000X元 于是, P{公司亏本} =P{ X ＞ 15} =1-P{X≤ 15} P{公司亏本} (2) 获利不少于100000元, 即 300000 -20000X ?100000 即X ? 10 P{获利不少于一万元}=P{X ? 10} 当20000X ＞300000, 即X ＞ 15人时公司亏本 例6 对某厂的产品进行质量检查，现从一批产 品中重复抽样，共取200件样品，结果发现其中 有4件废品，问我们能否相信此工厂出废品的概 率不超过0.005？ 解 假设此工厂出废品的概率为0.005，则200件 产品中出现4件废品的概率为 小概率事件在实际中几乎是不可能发生的 , 从而可认为工厂的废品率不超过0.005的说法是不 可信的. 例7 某接待站在某一周曾接待过 12次来访,已知 所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的,问是 否可以推断接待时间是有规定的. 假设接待站的接待时间没有 规定,且各来访者在一周的任一天 中去接待站是等可能的. 解 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 1 2 3 4 12 7 7 7 7 7 故一周内接待 12 次来访共有 小概率事件在实际中几乎是不可能发生的 , 从而可知接待时间是有规定的. 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 周二 周四 1 2 3 4 12 2 2 2 2 2 12 次接待都是在周二和周四进行的共有 故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为 例1 设一仓库中有10 箱同种规格的产品, 其中 由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱 , 3箱, 2 箱, 三厂产品的废品率依次为 0.1, 0.2, 0.3 从这 10 箱产品中任取一箱 , 再从这箱中任取一件产品, 求取得的正品概率. 设 A 为事件“取得的产品为正品”, 分别表示“任取一件产品是甲、乙、丙生产的”, 由题设知 解 备份题 故