以数学文化背景设计复数教学过程的尝试.doc

以数学文化背景设计复数教学过程的尝试 石志群 ( 江苏省泰州市教研室, 225300) 著名数学史专家H·伊夫斯(Howard W.Eves)在《数学史上的里程碑》一书中有这样一段论述:“在教育学中有一个原理, 根据的是生物学家简单叙述的著名法则:‘个体发育再现系统发育’, 其含是:一般地说,‘个体重复群体的发展过程’.”这就是“认知的历史相似性”的观点, 它说明了学科发展史与学科教学之间的内在关系, 同时也说明: 数学的文化价值是巨大的, 以数学文化背景引导数学教学是解决很多数学教学中的难点问题的有效途径. 以数学文化背景设计复数教学过程的尝试 石志群 ( 江苏省泰州市教研室, 225300) 著名数学史专家H·伊夫斯(How ard W. Eves)在《数学史上的里程碑》一书中有这样一段论述:“在教育学中有一个原理, 根据的是生物学家简单叙述的著名法则: ‘个体发育再现系统发育’ , 其含义是:一般地说, ‘个体重复群体的发展过程’ .”这就是“认知的历史相似性” 的观点, 它说明了学科发展史与学科教学之间的内在关系, 同时也说明: 数学的文化价值是巨大的, 以数学文化背景引导数学教学是解决很多数学教学中的难点问题的有效途径. 复数教学一直是中学数学教学的难点. 美国电气工程师、研究复数发展史的专家保罗·J·纳欣在其著作《虚数的故事》一书中这样写道: “当把虚数第一次讲给高中生们听时, 通常是让他们读到诸如下面的文字: ‘从根本上说, 是实系数方程x+1= 0导致人们发明了i ( 还有- i) ,……’, 但正如现在你已经知道的, 这同时也是不符合事实的. 当早期的数学家们遇上x+ 1= 0 以及诸如此类的二次方程时, 他们只是闭上眼睛, 称它们是‘不可能的’便了事. 他们肯定没有为这类方程发明过一种解. 关于的突破性进展不是来自二次方程, 而是来自一种三次方程,……”试想一下, 对于当初那么多具有数学天才的、伟大的数学家们( 包括欧拉、莱布尼兹等) 都难以理解、不能接受的“虚数”( 尽管著名数学家高斯对虚数已经有了较为本质的认识, 但他也曾坦诚地说: “的真正的超现实性是难以捉摸的”) , 对于无法引起这些超一流数学家们的问题意识的方程x+ 1= 0, 怎么能指望我们的学生们“心悦诚服”地接受虚数、认为方程x+ 1= 0 就一定要有解呢? 而真正引起认知冲突的, 正是意大利工程师邦别利称为“不可约三次方程”的复数形式的实数解, 才应该是作为数学教学中引入复数概念的思维起点. 下面的设计取材于姜堰市第二中学黄萍老师参加2009年江苏省高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动中上的一节课. 1 人类对数的认识过程的回顾 先回顾数的发展史( 到实数为止) , 即教材中的“为了计数的需要产生了自然数, 为了测量等需要产生了分数, 为了刻画具有相反意义的量产生了负数,为了解决度量正方形对角线的长的问题产生了无理数, 等等.”( 上述介绍是按照人们对数的概念的认识过程( 顺序) 进行的) . 在回顾数的发展史时可以对负数、无理数认知的曲折过程进行简要介绍: 当人类对数的认识还处于“计数”与“度量”的阶段时, 对负数难以理解是很正常的现象, 如“- 2 条狗”究竟是什么意义呢? 当数学家们还存在着“分子大于分母的数一定大于分子小于分母的数”这一在正分数范围内的性质时, 就更无法理解怎么会出现“＝”的等式呢? 甚至伟大的数学家莱布尼兹也认为这是不可能的. 同样, 在当人们的思维方式还处于“有限”的时空之中时, 当数学家的哲学观念局限于“世间万物皆为数,所有数都是分数”时, 对如之类的无理数拒绝接受也是可以理解的了. 类似的情况在公元1545 年又一次发生了: 意大利数学家卡丹在其著作《大术》一书中给出了这样一个著名的问题: 把10 分成两个部分, 使这两部分之积为40. 他称这个问题“显然是不可能的”, 因为它马上可导出二次方程x- 10x +40= 0, 如果用一元二次方程求根公式, 则其解可以写成5的形式, 这里的是没有意义的, 因为“负数没有平方根”. 也就是说, 方程x -10x + 40= 0 没有解. 提出问题. 问题1 方程x- 10x + 40= 0 真的没有解吗?“方程没有解”的意义是什么呢? 以上过程是为了让学生体验到人类的认识过程是一个从简单到复杂、从低级到高级的过程, 其间还存在一些为大多数人的认识所难以承受的时段( 如无理数、负数等的发现) . 由此让学生感受到: 首先,数的概念是为了满足人们的生活和生产的需要, 随着社会的发展而不断发展的; 其次, 人们对数的了解也是随着人们的认识水平的不断提高而逐步深入的; 再次, 在学科历史发展的特定阶段, 人的认知能力可能限制了对客观事物的深刻认识, 当一个学科的最高的