分数阶Fourier变换离散化的研究进展.PDF

中国科学 E 辑 : 信息科学 2008 年 第 38 卷 第 4 期 : 481 ~ 503 SCIENCE IN CHINA PRESS 分数阶Fourier 变换离散化的研究进展 * 陶然, 张峰, 王越 北京理工大学电子工程系, 北京 100081 * E-mail: rantao@ 收稿日期: 2007-08-06; 接受日期: 2007-11-15 国家杰出青年科学基金(批准号: 、国家自然科学基金重点项目(批准号: 和国家自然科学基金(批 准号:资助 摘要 近年来, 分数阶 Fourier 变换在光学、信号处理等领 关键词 域得到越来越广泛的应用, 离散化成为其得以应用的关键. 由 分数阶Fourier 变换 于分数阶Fourier 变换的离散算法不像离散Fourier 变换那样可 分数阶Fourier 域采样定理 以简单地通过在时域和分数阶Fourier 域直接离散化采样得到, 离散时间分数阶Fourier 变换 因此分数阶 Fourier 变换的离散算法成为近年来的研究重点. 分数阶Fourier 级数 根据分数阶 Fourier 变换离散化的发展历史, 对其重要研究进 离散分数阶Fourier 变换 展和现状进行了系统归纳和简要评述, 包括: 分数阶 Fourier 域采样和重构; 离散时间分数阶Fourier 变换和分数阶Fourier 级数; 离散分数阶Fourier 变换(包括目前 3 种主要类型: 线性 加权型、采样型和特征分解型); 以及和分数阶Fourier 变换紧 密相关的其他离散分数阶酉变换; 并指出了应用背景和发展 方向. 有助于读者全面了解分数阶 Fourier 变换离散计算, 进 一步促进其工程应用. 近年来, 分数阶 Fourier 变换因其在光学、量子力学、模式识别、时频分析、信号处理等领 域的广泛应用得到了越来越多的关注[1~8]. 分数阶Fourier 变换可以看作是时频平面的旋转, 并且 同其他时频分布具有密切的联系, 这为分数阶 Fourier 变换理解为一种统一的时频变换奠定了理 论基础[9~14]. 分数阶 Fourier 变换是传统 Fourier 变换的推广, 其很多性质都可以看作是 Fourier 变换的一般化; 一些常见的性质, 比如分数阶 Fourier 域上的卷积和乘积定理、采样定理等都已 经得到[15~28]. 信号x (t) 的a 阶连续分数阶 Fourier 变换线性积分形式定义为[1,2] ∞ X α (u) F a [x(t)](u) ∫−∞ Ka (u, t)x(t)dt, (1) 481 陶然等: 分数阶 Fourier 变换离散化的研究进展 其中积分核为: 2 2 ⎧ j u + t cot α −j utcsc α A e 2 , α ≠ k π; ⎪ α ⎪ K a (u ,t ) ⎨δ (u − t),