刚体的平面运动刚体的运动包括平移定轴转动平面运动.DOC

第4章 刚体的平面运动 刚体的运动包括平移、定轴转动、平面运动、定点转动和一般运动。平移和定轴转动是刚体的两种基本运动。本章研究工程中常见的刚体的平面运动，例如图4.1中，沿直线轨道行驶小车的车厢和车轮、曲柄连杆机构中的曲柄OA、连杆AB和滑块B均作平面运动。 (a) (b) 图4.1 刚体平面运动实例 我们把刚体内任意点与某个固定平面始终保持等距离的刚体运动称为刚体平面运动。与点的复合运动类似，刚体相对定系的绝对运动也可以看作是刚体相对动系的相对运动和动系相对定系的牵连运动的合成。在平面运动刚体某轴上固连一个平移动系，刚体的平面运动，可分解为随动系平移和相对动系定轴转动的合成。 §4.1 刚体平面运动方程 如图4.2所示刚体作平面运动，过刚体内任意点P作平面平行于固定平面，它与刚体相交截出一刚性平面图形S，当刚体内任意点始终保持与平面等距离时，此截面必保持在平面内运动。在P点作垂直于平面的直线，则此直线上所有点的运动均与点的运动相同。因此刚体的平面运动可用此平面图形S在自身平面内的运动完全表达。 图4.2刚体平面运动简化 图4.3 平面图形的运动描述 如图4.3所示，以平面内的确定点O为原点建立定坐标系，令坐标面与平面重合，轴沿平面的法线。在平面图形内任选一点A作为基点，从基点A向任意方向作固结于平面图形的射线AB，称为基线。于是平面图形在平面内的位置可由基点A的直角坐标以及基线相对Ox轴的倾角完全确定。它们是时间t的单值连续函数 ， (4-1) 这就是刚体平面运动的运动方程。 在式(4-1)中，若保持不变，则简化为平移；若保持不变，则简化为绕A轴的定轴转动。因此刚体的平面运动可以分解为平移和定轴转动。在基点A固连平移直角坐标系，且各轴分别与定坐标系的对应轴平行(图4.3)，则平面图形的平面运动(绝对运动)可分解为以基点为原点的平移坐标系的平移(牵连运动)，和平面图形相对平移坐标系的定轴转动(相对运动)。式(4-1)对时间求一阶和二阶导数，可分别求得平面图形随基点A运动的速度和加速度分量以及绕基点A转动的角速度和角加速度 (4-2) 注意 平移坐标系可以完全固结于某个实际的参考体上，也可能只有一根轴与实际物体相联。如图4.4所示，沿直线滚动的自行车车轮和圆盘，基点均取在轴心或盘心上，对于前者，平移坐标系可理解为与自行车车架固结，对于后者平移动系仅与轮心轴相联。但两个坐标系的运动都与各自的基点相同。 (a) (b) 图4.4　以轮心为基点的平移坐标系 基点A的选择是完全任意的。在平面图形上任取两点A和为基点来分解运动(图4.5)。因为A，两点的运动状态不同，所以两个平移坐标系和的平移状态也不同。由于在任一瞬时轴和轴必相互平行，因此平面图形上任一基线(例如对于和轴的转角必然相同(都等于)。由此可知：平面图形上基点的运动与基点的选择有关，而相对基点的转动与基点的选择无关。 图4.5　平面图形的不同基点 图4.6　轮缘上点为基点 在处理具体问题时，应尽量选平面图形上运动已知且轨迹简单的基点。例如对图4.4b所示的圆盘，如将盘心选作基点，计算比较方便；若改选盘边缘上的一点P为基点(图4.6)，则由于基点作摆线运动，计算要复杂得多。 问题4-1 试证明平面图形绕基点的转角、角速度、角加速度与基点选择无关。 答 如图所示，平面图形S随基点A平移至位置，再转到，转角为；随基点B平移至位置，再转至AB，转角为。因，故有，，。 思考4-1 已知平面图形S的运动方程，试写出S上给定点M的运动方程，以及该点的速度和加速度解析表达式。 §4.2 平面图形上各点的速度与加速度 平面图形的运动是由随基点的平移和绕基点的转动合成的，可应用点的复合运动方法来分析平面图形上任意两点的速度关系和加速度关系。 4.2.1 基点法 1 速度基点法 如图4.７所示，某瞬时平面图形上，A点的速度和加速度分别为,，平面图形的角速度和角加速度分别为,。试求平面图形上任一点B的速度和加速度。设A为基点，建立平移动系，选B为动点，B点的相对运动为绕A点的圆周运动，牵连速度，相对速度用表示，称为绕基点作圆周运动的速度，其大小为，方向垂直于(见图4.7)。由速度合成定理 有