力矩平衡与虚功原理处理静力学对比梁彬彬xhzjzs@sinacom力矩.DOC

力矩平衡与虚功原理处理静力学对比 梁彬彬[xhzjzs@] 力矩平衡原理 单个刚性或者可以等价成整体刚性的结构。各个作用力[包括接触点或转动支点的挤压反弹力，不包括内部结合力]记为。选任意点O作中心，O指向作用点的矢量为，两矢量叉乘得到力矩。如果处于静态平衡，作用在这一刚体上的所有力矩总和为0。即： 总力矩为0，那么总力矩的投影到任意方向上的分量，也即各力矩投影到某方向分量的总和为0。设投影到x，y，z轴的各分量为，与x，y，z轴的夹角为。各力矩投影到x，y，z的分量总和都为0才能跟总力矩为0等价。也即： 虚功原理 设时间不变[即]，想象在某一时刻，质点在不违背约束条件发生一位移，这位移称为虚位移，以记之。等时变分算子与微分算子有类似的运算规则。 力与虚位移点乘为虚功。。 限制质点位置和速度的为约束。比如：两点保持距离恒定，铁轨上的火车。质点因约束而受到的力称为约束力。诸约束力在任意虚位移所做的虚功之和为0。即：。这种约束为理想约束。光滑曲面、光滑曲线、光滑铰链、刚性杆、不可伸长的绳子等等都是理想约束。 假设质点组处于平衡状态，那么，质点组中的每一个质点必然处于平衡。那么，组中第i个质点的平衡方程为：，。式子中的是第i个质点所受主动力的合力，是约束力的合力。两边点乘一个虚位移，则有： 将这个n个方程都加起来就可以得到：，因为在理想约束的情况下：，于是证明了质点组在理想约束的情况下，其平衡条件是主动力所作虚功的总和等于零：，这个定理就叫做虚功原理。 一体系N个质点，一个位形需3N个坐标，受k个约束不完全独立。独立坐标数S=3N-k。描写质点组位置所需最少的一组参量，就叫做广义坐标。用来表示，α＝1,2，……s。 （）。广义坐标可以是长度，也可是角度。 虚功原理用广义坐标可表示成： 比较及点评 从实例解题对比，我们可以发现，两种原理能得到相同的答案或者类似的结果。解题上各有千秋。不过力矩平衡原理概念简单，而虚功原理学习起来概念繁琐，初学很难摸到门路。 两者似乎有某种等价性，我们可以分析一下体系静态平衡下的另外推论。 如图，xi即可以用广义坐标也可用θix来表达， 因此：，其他也同理可得。因此： 三项相加：。 但无法推导得到这一结论。也无法推导得到的结论。 因此，两种方法存在某种差异。 拉格朗日不会这样描述虚位移的：即满足约束下撤去其他力只在某个力作用下的假想位移。 此时的虚位移设为ds，Fi与Ri两矢量夹角为θi。虚功原理表示为： 只是把变分符号换成了微分符号。让虚位移跟泛函跟变分沾点关系，一是为使概念深奥，二是显示他在变分上的成就。 理想约束其实就是为了少算及少分析几个约束力，这需要花时间判断或者靠经验。其实也可以使用本人开发的广义虚功原理，即：在平衡时，各主动力和约束力的虚功之和为0。其中约束力接触点或转动支点的挤压反弹力，不包括内部结合力。 拉格朗日不会使用力矩平衡原理的，因为这个概念明晰，而且过于简单。如果使用这个，他在知识上将没有任何创造，力和力矩有什么创造性可言呢。因此用各种深奥的概念包装一下会更好一些。搞得复杂了，而且还能解决些问题，有些人定会对他崇拜的。 实例解题对比 例1.求平衡时θ1和θ2的值。 ㈠㈡ 例2.半径为r的半球形光滑碗，一均质棒斜躺在碗缘，碗内长度为S，求棒全长L。 ㈠㈡