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CH1 信号及其表述
1) 线性叠加性 * 若 则当a,b为常数时,有: 两函数线性叠加的傅里叶变换可以写成两函数的傅里叶变换的叠加。 对复杂信号的频谱分析处理可分解为对一系列简单信号的频谱分析处理。 信号的描述(39/53) 2)对称性质 由已知的傅里叶变换对,可求得逆向相应的变换对。 若 的傅里叶变换为 ,即: 则 证明: 互换t和f得: 故有: X(t)?x(-f) * 信号的描述(40/53) 式 表明傅里叶正变换与逆变换之间存在着对称关系,即信号的波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系。 利用这个性质, 可以根据已知的傅里叶变换得出相应的变换对,免去了烦杂的数学推导过程。下图是对称性应用举例。 对称性质说明 * 信号的描述(41/53) 对称性图示 * 信号的描述(42/53) 3)奇偶虚实性 (A) 一般是实变量的复变函数。利用欧拉公式 * 将式 写为: 信号的描述(43/53) 3)奇偶虚实性 (B) 时域 实部 虚部 频域 实偶 0 实偶 实奇 0 虚奇 虚偶 0 虚偶 虚奇 0 实奇 * 信号的描述(44/53) 4)时间尺度改变性质(推导) 在信号x(t) 幅值不变的条件下,若 即:时域时间变量增大k倍,则频域的频率和幅值 均缩小k倍。 证明:当信号x(t) 的时间尺度变为 kt 时,有 * 信号的描述(45/53) 4)时间尺度改变性质 0 0 0 0 0 0 * 信号的描述(46/53) 时间尺度改变性质应用 时间尺度改变性质说明:时域时间变量增大k倍,则频域的频率和幅值均缩小k倍 图(c)表明当时间尺度压缩(k 1)时,频谱的频带变宽,幅值变低;图(a)为时间尺度扩展( k 1)时,其频谱的频带变窄,幅值增高。 应用磁带机作扩展时间轴和压缩时间轴的谱分析时,此特性很有实用价值。 若磁带慢录快放,时间尺度压缩,时域波形变窄,分析结果频带加宽,幅值降低,信号处理效率高,频率分辨率高; 若磁带快录慢放,则时间尺度扩展,时域波形变宽,结果频带变窄,幅值增高,信号处理效率低,频率分辨率低。 * 信号的描述(47/53) 5)时移性质 此性质表明,在时域中信号沿时间轴平移一个常值t0时,频谱函数将乘因子 ,即只改变相频谱,不会改变幅频谱。 把时域信号延时 t0 时, 则其频域相移 若 把时域信号沿时间轴平移一常值 ,则其频域引起相应的相移 即 证明: * 信号的描述(48/53) (c) 时移的时域矩形窗 (d) 图(c)对应的幅频和相频特性曲线 时移性质举例 (a)时域矩形窗 图(a)对应的幅频和相频特性曲线 0 0 0 0 0 0 * 信号的描述(49/53) 6)频移性质 若 为常数,则: 若频谱沿频率轴平移一个常值 , 对应的时域函数将乘因子 即 * 信号的描述(50/53) 7)微分和积分特性 微分性质 若 积分性质 在振动测试中,如果测得位移、速度或加速度中任一参数,便可用傅里叶变换的微积分特性求其它参数的频谱。 如何应用? * 信号的描述(51/53) 例题求解过程 * x(t) 在一个周期内可表示为: 因x(t)是奇函数,在对称区间积分值为0,所以 信号的描述(7/53) …… ω0 3ω0 5ω0 7ω0 4A/π 4A/3π 4A/5π 4A/7π ω An ω ?n ω0 3ω0 5ω0 7ω0 周期方波的幅频与相频特性图 * 信号的描述(8/53) 周期方波的时、频域表述 * 信号的描述(9/53) 课堂习题 求题图1-1周期三角波的频谱,并作频谱图。 0 t * 信号的描述(10/53) 答案 若取 n次谐波分量的幅值 n次谐波分量的相位 * 信号的描述(11/53) 利用欧拉公式求傅立叶系数1 得 代入 得 * 信号的描述(12/53) 令 利用欧拉公式求傅立叶系数2 * 信号的描述(13/53) 如何求? 利用欧拉公式求傅立叶系数3 * 信号的描述(14/53) Cn与an、bn 、An的关系 一般情况下, 为复数。可写成: 幅频谱图: | cn | —— ? 实频谱图: Recn —— ? 虚频谱图: Imcn —— ? 相频谱图:?n —? 几个谱图 * 信号的描述(15/53) 三角函数展开与复指数展开的比较: 复指数函数形式的频谱为双边谱(?从-?到 +
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