单摆单摆的运动是一个很基本和重要的物理现象三百多年前.DOC

一、單擺 單擺的運動是一個很基本和重要的物理現象。三百多年前，伽利略（西元1564-1642年）首先對它進行了研究。當單擺的振幅很小時，其頻率是個常數和振幅的大小無關。這是一個簡諧運動。這就是鐘擺的原理。當單擺的振幅變大時，它的頻率就不再是個常數，而和振幅或說是能量有關了。當體系的振動頻率和它的能量有關時，就是非線性運動。 單擺的勢能和擺所在的位置有關。設是振動所對應的角度。的函數圖，如圖一所示，正比於。當較小時，sin~, 所以~2，是個抛物線，而當接近於時，明顯地不隨而有很大的變化。 圖一：單擺的勢能。勢阱中的橫線表示各種能量時的情形。 單擺運動可以用如圖二的方式來表示。圖中的J是單擺的速度（嚴格地說是角動量）。和的關係圖也稱作相空間圖，簡稱相圖，也因此稱為相角。當單擺的能量不足以使超出（或-）時（相角相當於單擺位於最高處），體系呈現的是穩定的週期運動，即來回的，周而復始的擺動。對於這類運動，它的相圖結構是封閉的橢圓形。其中心點a (= 0, = 0)是個穩定的不動點，對應於處於最低能量靜止的單擺。而當單擺運動的能量足夠大時，便會超出（-，）之範圍。這時的單擺是個圓周運動，即不停地轉動，相角便不斷地增加。圖中的箭頭表示單擺運動的方向。上述這兩類運動的分界線（separatrix）所對應的b點（= 0, = ）是個不穩定的不動點。說b是不動點是指單擺雖然可以停留在該處，但這是不穩定的。只要有很小的外力，單擺便會離開b處，而往下墜落。我們稱它為雙曲點（hyperbolic point），這是因為在該點附近，既有穩定的相空間區域也有不穩定的相空間區域。穩定的相空間區域是指箭頭往b處的運動，單擺這時往b處集中，趨於穩定。不穩定的相空間區域是指箭頭離開b處的運動，單擺這時遠離b處而去，呈現不穩定的運動。此外，我們應注意到沿著分界線到達b點，且停留在該點，所需的時間是無窮長。這是因為越靠近b點時，運動的速度越小，直至為零！ 圖二：單擺運動的相圖。J 為速度，θ為相角。曲線對應於不同能量的軌跡。箭頭表示軌跡的方向。A，A′表示方向相反的轉動，S為分界線。 以上有關單擺運動的敍述體現了幾個非常重要的物理概念：簡諧，非線性，穩定和不穩定的不動點，分界線等。 二、單擺是複雜運動的基元 設想一個具有多個相互獨立的週期運動的體系。如果這些週期運動的頻率具有整數比的關係，則體系仍為週期運動（這些週期運動週期的最小公倍數就是體系的週期）; 否則（即其頻率之比不能為整數比的關係），體系為贗（准）週期 （不是週期運動，但仍是很規則的運動）。當這些運動相互作用，也就是有耦合後，體系就變為非常複雜了。相互作用可以是複雜的，但我們總可以將相互作用表示為各種級次（order）的共振。例如對於2維體系，它的共振項可以是1:1（對應的頻率比為1:1），1:2（對應的頻率比為2:1），等，對應的耦合作用量正比於，，等（即將相互作用項展開為傅立葉級數）。我們下面將要說明：共振導致相空間結構的變化。局部地看，它總是可以近似於一個單擺的運動。我們且以2維（分別用下標1，2表示）體系的1：1共振來說明這個觀點。 在以下的討論中，為了方便，我們可以將H0 , H 視為體系沒有共振和有共振時的能量，J1 和 J2 為速度（嚴格地說是動量=速度乘以質量），為頻率。上（下）標‘0’表示沒有共振時的量。對於有關的公式，讀者可以將之視為當然。它們不會影響以後的討論和理解。如果讀者對以下的部分有困難，則可跳過，從最後一個公式接著讀下去。 設體系沒有共振時的能量為，其頻率為: ， 並且假設 或 （考慮對應的頻率比為1：1） 因此，在1:1共振條件下的體系能量為: （共振條件下的總能量等於原先沒有共振時的能量加上相互作用的能量） 我們做如下的座標變換： ， ， 則： 因為和無關，可知（請讀者就這樣認為）為守恆量，即J1 和 J2的總和是不變的，相當於總能量是不變的。這時 （此表示相當於圍繞附近多項式的展開！） 但是 （這是微分中的‘鏈式規則’，chain rule） 因此 ~ （，為常量） 上式正好等同於一個在勢能為（勢能只和位置有關）中（此處，雖不是sin函數的平方，但是和前面單擺勢能並沒有本質上的區別。），動能為（動能和速度有關）的單擺能量。注意指的是兩個振子對應的相角差。因此，我們說：共振下，相空間中的局部總是近似於一個單擺的運動。這就是單擺作為運動的基元的由來。它的結構仍如圖二所示。我們應該注意到：當沒有共振時（也就是在產生等價的單擺運動前），因為J1, J2為常量（即速度為常量），圖二中的曲線應皆為直線。共振的作用，使得它們變曲折了。突出的是這時產生了一對不動點：一個為穩定的（a點），一個為不穩定的（b點）。另外，我們應