§7-1 常数项级数的概念和性质.ppt

(2) 绝对收敛级数的性质 性质1. 任意交换绝对敛级数中各项的位置，其敛散性不变，其和也不变. 性质2. 两个绝对收敛的级数的积仍是一个绝对收敛的级数，且其和等于原来两个级数的和之积. * 证 记 ? 0 ? un ?vn (n=1, 2, …) ? 0 ? Sn ?Gn 例11. 判断级数 的敛散性. (0x3?) 解：由于 又 由等比级数的敛散性， 故 原级数收敛. 例12. 讨论P一级数 (p0)的敛散性. 解：当p＝1时，P一级数为调和级数 它是发散的. 当0p1时，有 由比较判别法，P一级 数此时是发散的. 当p1, 按1, 2, 22, 23, …, 2n, …项对P一级数加括号，不影响其敛散性： 而 …………………………………… 于是，P一级数加括号后生成的级数的每一项均 小于以 为公比的等比级数的相应项， 故此时P一级数收敛. 综上所述，当p1, P一级数收敛；当p?1时，P一级数发散. 4. 比较判别法的极限形式 或从某一项N开始). 若 (1) 0?+?时， (2) ?=0时， (3) ?=+?时， 例13. 判别级数 的敛散性 (a0为常数) 解：因为 (即?=1为常数) 又 是调和级数，它是发散的，故原级数 发散. 例14. 判别级数 的敛散性，其中, x0为常数. 解：由于 而 是n=2的P一级数，它是收敛的，故原级数 5. 达朗贝尔比值判别法 设 为正项级数，极限 (1) ? 1时，级数收敛； (2) ? 1 (包括?= ??)时，级数发散； (3) ? = 1 时，不能由此断定级数的敛散性. 例15. 判别级数 的敛散性，其中，x0为常数. 解：记 即 ?=01，故该级数收敛. 例16. 判别级数 的敛散性，其中，x?0为常数. 解：记 即 ?=x2, 由达朗贝尔判别法. 当0|x|1时，?1, 级数收敛. 当|x|1时，?1, 级数发散. 当 | x |=1 时，?=1, 但原级数紧时为 这是 n = 2 的 P 一级数，是收敛的. 综上所述，当 0 | x | ? 1 时，原级数收敛，当 | x | 1 时，原级数发散. 6. 柯西根值判别法 设 为正项级数，极限 (1) ?1时, 级数收敛； (2) ?1 (包括?= ??)时，级数发散； (3) ?=1时，不能由此断定级数的敛散性. 例17. 判别级数 的敛散性，其中, x 0 为常数. 解：记 即 ?= 0 1 , 故该级数收敛. 例18. 判别级数 的敛散性，其中，x0, a0为常数. 解：记 即 当xa时， 当0xa时， 当 x = a 时，?=1, 但 故原级数发散. 综上所述，当 0xa 时，原级数收敛. 当 x ? a时，原级数发散. 五、任意项级数的敛散性 1. 交错级数及其敛散性 交错级数是各项正负相间的一种级数，它的一般形式为 或 其中，un?0 (n=1, 2, …) 定理(莱布尼兹判别法) 若交错级数 满足条件 (1) (2) un?un+1 (n=1, 2, …) 则交错级数收敛，且其和S的值小于u1. (级数收敛的必要条件) 例19. 讨论级数 的敛散性. 解：这是一个交错级数， 又 由莱布尼兹判别法，该级数是收敛. 例20.判断级数 收敛？如果收敛，是条件收敛 还是绝对收敛？ 解：此级数为交错级数，因为 , 而 发散, 原级数非绝对收敛. 因为 为交错级数, 由莱布尼玆定理 由比较审敛法知 发散 所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛。 所以 在 上单增，即 单减 ， 故当 时， 单减， 令 2. 任意项级数及其敛散性 (1) 级数的绝对敛和条件收敛 定义：若级数 对收敛的；若级数 但级数 定理：若 (即绝对收敛的级数必定收敛) 证： ? un ? |un| ? 从而 定理 (达朗贝尔判别法) 设有级数 若 (1) ?1时, 级数绝对收敛； (2) ?1 (包括?= ??)时，级数发散； (3) ?=1时，不能由此断定级数的敛散性. 例21. 判别级数 的敛散性. 解： 由P一级数的敛散性， 即原级数绝对收敛. 例22. 判别 的敛散性，其中，x??1为常数. 解：记 当|x|1时，?=|x|1, 原级数绝对收敛. 当|x|1时，?=1, 此时不能判断其敛散性. 由达朗贝尔判别法： 但|