周期序列的离散傅里叶级数.PPT

第六章离散信号与系统的频域分析 6.1周期序列的离散傅里叶级数(DFS) 一．周期序列的离散傅里叶级数(DFS) 离散傅里叶系数推导 DFS定义 离散傅里叶级数例 二、非周期序列的离散时间傅里叶变换(DTFT) 逆变换的导出 表示 三、四种傅里叶变换的特点和关系 关系 离散傅里叶变换及其性质 一．离散傅里叶变换(DFT) 二、DFT与DTFT、DFS的关系 三、离散傅里叶变换的性质 3. 时移特性 4. 频移特性（调制） 5. 时域循环卷积（圆卷积）定理 借助循环卷积计算线卷积 6. 频域循环卷积定理 7. 巴塞瓦尔定理 1. 线性 若 f1(k)←→ F1(n) f2(k)←→ F2(n) 则 a1f1(k)+a2 f2(k) ←→ a1F1(n)+a2F2(n) 2. 对称性 若 f(k)←→ F(n) 则 F(k) ←→ N f((–n)) f((–n))应是f(n)周期拓展之后反转——称圆周反转。 圆周位移（循环位移）： 将有限长序列f(k)周期拓展成周期序列fN(k)，再右移m位，得到时移序列fN(k –m)，最后取其主值而得到的序列称为f(k)的圆周位移序列，记为 f ((k –m))NGN(k) 时移特性 若 f(k)←→ F(n) 则 f ((k –m))NGN(k) ←→ WmnF(n) DFT时移特性证明 DFT[ f ((k –m))NGN(k)]=DFT[ fN (k –m)GN(k)] 令i=k-m，有 DFT[ f ((k –m))NGN(k)]= 由于fN (k )和 都是以N为周期的函数，因此 故 DFT[f ((k –m))NGN(k)]= WmnF(n) 若 f(k)←→ F(n) 则 W–l kf (k) ←→ F((n –l))NGN(n) 周期序列记为fN(k)，N为周期，数字角频率为 由于 也是周期为N的序列，即 则fN(k)可展开为 注意：ejk是周期为2π的周期函数。 两端同乘e-jmΩk，并在一个周期求和，有 上式右端对k求和时，仅当n=m时为非零且等于N，故上式可写为 令 则 FN(n)称为离散傅里叶系数。 称为周期序列的离散傅里叶级数(Discrete Fourier Series, DFS) 。 令 则 离散傅里叶级数变换对 注意：fN(k)只有N个谐波分量。 例 求图所示周期脉冲序列的离散傅里叶级数展开式。 解 周期N =4，?=2?/N=?/2，求和范围取为[0，3] fN(k) =[2 + (1 – j1)ej0.5πk +( 1+ j1) ej1.5πk]/4 =0.5[1+cos(0.5πk)+sin(0.5πk)] 周期序列fN(k) 非周期序列f(k) 连续谱； 离散谱 1. 引出 0 θ 定义非周期序列f(k)的离散时间傅里叶变换(Discrete Time Fourier Transform, DTFT)为 fN(k)→ f(k) 由于n的取值周期为N，2πn/N的周期为2?，所以θ 周期为2? 。 非周期序列的离散时间傅里叶逆变换 说明： F(ejθ)是θ的连续周期函数，周期为2π。 DTFT存在的充分条件是f(k)满足绝对可和，即 DTFT举例 例：求下列序列的离散时间傅里叶变换。 解 F1(ej?) = DTFT[f1(k)] = ， ， 连续、周期频谱F(e j?) （周期为2?） 离散、非周期序列 f(k) 离散时间傅里叶变换(DTFT) 离散、周期频谱FN(n) （周期为N,离散间隔为Ω=2π/N) 离散、周期序列 fN(n) （周期为N） 离散傅里叶级数(DFS) 连续、非周期频谱F(j?) 连续、非周期信号f(t) (连续时间)傅里叶变换(CTFT) 离散、非周期频谱Fn (离散间隔为Ω=2π/T) 连续、周期信号fT(t) （周期为T） (连续)傅里叶级数(CFS) 频域特点 时域特点 类别 一般说来，在一个域中为连续的表示，在另一个域中就是非周期性的表示；与此对比，在一个域中为离散的表示，在另一个域中就是周期性的表示。 fT(t)的傅里叶级数(CFS)与f(t)的傅里叶变换(CTFT)的关系 f(t)为剪裁fT(t)主周期得到的非周期信号。 fN(k)的离散傅里叶级数(DFS)与f(k)的离散时间傅里叶变换(DTFT)的关系 FN(n)= F(ej?) ，