奇怪吸引子的维数.PPT

* 第四章 分 形 浮云不呈球形，山峰不呈锥体，海岸线不是圆圈，树干不是光溜溜的，闪电永不会沿直线行进。 第六节 分形与动力学 1. 奇怪吸引子的维数 2. 奇怪排斥子与康托尔点集 3. 魔鬼楼梯的分形 4. 吸引域边界上的分形 5. 一维映射的分数维 6. 1/f噪声 时序中的自相似性 7．复数域上的分形 1. 奇怪吸引子的维数 对‘香蕉’头取小方块，得b放大图形，可见头部不是简单一条曲线。 再对图b顶部进行放大得到图c，可见大致分成三层曲线，顶层有三条，中间层两条，层为单线。 进一步对图c顶层三条线局部放大，则显示细致图形d。 通过比较可见，不论进行多少次逐步放大，顶层每条线都给出三层结构，局部与整体相似。 埃侬吸引子 奇怪吸引子具有自相似结构。 取埃侬映射参数m＝1.4，b＝0.3，在 (x,y) 平面上得如a图形。粗看犹似香蕉，‘香蕉’头处显出三条弯线。 1. 奇怪吸引子的维数 李雅普诺夫维数 对不同奇怪吸引子，根据图形与特征采用不同计算方法。 设二维映射的两个指数 l1＞0＞ l2。将映射用于边长为e 的N(e)个小正方块组成的正方形。如 q 固定和 e 足够小时，映射操作为线性的。在进行 q 次迭代后，初始的每个方块拉伸成细长平行四边形。 平行四边形平均边长l1e，平均宽度l2e。复盖拉伸后的平行四边形要用(l1/l2)q 个更小的正方形。这样操作后吸引子上的正方形数约为： 1. 奇怪吸引子的维数 李雅普诺夫维数 李雅普诺夫维数 整理 取对数 假定 或 消去两边相同的系数 推广到P 维映射 k 为最大值 1. 奇怪吸引子的维数 典型吸引子的维数 2. 奇怪排斥子与康托尔点集 逃逸 平方映射 当考虑 m 值取消小于 4 的限制，则即使初始值取 ，只要经过数次迭代，xn 将超出 [0,1] 范围，并可能成负值。 xn一旦 小于零，在继续迭代中都将小于零，并且走向于负的无穷大，这种现象称逃逸。 2. 奇怪排斥子与康托尔点集 研究由上行与下行两段斜线构成的映射： 称帐篷映射。当 b 2 时，可以产生逃逸。 例如：当 b = 3 时有两个不动点： 不动点斜率为 ? b = ? 3 ，超出稳定性条件斜率 -1m1要求，它们是不稳定的不动点。 一种不稳定的不动点，初始条件只要存在某种很小偏离，系统就象受到排斥一样，迅速离开不稳定轨道而出现逃逸现象，称奇怪排斥子 。 奇怪排斥子 2. 奇怪排斥子与康托尔点集 奇怪排斥子 存活 帐篷映射在b = 3 时，如起始点在 [1/3,2/3] 内取值时，都会向负无穷大( )逃逸；即使起始点在区间 [1/3,2/3]外，只要经数次迭代后进入到[1/3,2/3]内，继续迭代也会向逃逸，因此 [0,1] 内的点只有少数可以“存活”。 区间 [0,1]内所有点称存活 0，经过1次迭代后不逃逸的点为存活 1。 [对于 b = 3 的帐篷映射，[0, 1]内的点除 [1/3, 2/3] 外属于存活 1。] 逃逸速率 由于逃逸， [0, 1] 上的点Nn将 随迭代次数指数地减少： a -逃逸速率。Nn-经过 n 次迭代没有逃逸的点。 2. 奇怪排斥子与康托尔点集 奇怪排斥子 逃逸速率计算： 已知经过一次迭代后不产生逃逸的点为存活1，而将区间[0,1]内的所有点称为存活0。显然，对于参数 b = 3 的帐篷映射来说，在[0,1]的单位长线段上，除区间[1/3,2/3]外，所有的点都属于存活1，因此一次迭代后点的存活概率p为： n 次迭代存活概率： 得逃逸速率: 2. 奇怪排斥子与康托尔点集 帐篷映射的与康托尔集 参数 b = 3 帐篷映射，其全部存活点集将作成一个理想的康托尔三分集。 作图方法：帐篷映射由上行与下行的两段斜线构成，由存活 1得存活 2。以存活 1 作纵坐标，存活 2 为横坐标，存活 2 由映射斜线作镜像反射从存活 1获得。进而从存活 2导出存活 3，存活 n-1导出存活 n。 对比康托尔集作图：初始元由存活 0构成，一次迭代后存活 1 构成一次生成元，二次迭代存活 2 成生成元，等等。