第一讲习题答案.doc

习 题 一物体放在水平台面上，当台面沿竖直方向作频率为5Hz的简谐振动时，要使物体不跳离台面，试问对台面的振幅有何限制？ 解：物体做简谐运动，设系统运动方程为： 对物体分离作受力分析: 要使物体不条离台面，要求，即： 也就是 求简谐运动和合成运动的最大振幅与最小振幅，并求其拍频和周期。 解：最大振幅为 最大振幅为 拍频为 周期为 写出图示系统的等效刚度表达式。当，，时，求系统的固有频率。 题1-3图 解：系统等效刚度为： 系统的固有频率为： 图中简支梁长、抗弯刚度，且，。分别求图示两种系统的固有频率。 题1-4图 解：简支梁的等效刚度 左图系统等效于弹簧并联： 系统固有频率为： 右图系统等效于弹簧串联： 系统固有频率为： 钢索的刚度为，绕过定滑轮吊着质量为的物体以匀速下降。若钢索突然卡住，求钢索内的最大张力。 解：此问题等效于单自由度无阻尼系统的自由振动 固有频率 初始条件是： 则系统的振幅 故由振动引起的最大动张力 图示重物挂在弹簧上使弹簧静变形为。现重新将重物挂在未变形弹簧的下端，并给予向上的初速度，求重物的位移响应和从开始运动到它首次通过平衡位置的时间。 题1-6图 解：系统的固有频率为 初始条件是： 则系统的振幅 初相位 那么系统的位移响应为 系统首次经过平衡位置，也即，于是有： 证明对于临界阻尼或过阻尼，系统从任意初始条件开始运动至多越过平衡位置一次。 证明：时 式中，而单调，故对任意，也即任意初始条件至多 有一次过平衡位置； 时 式中，而单调，故对任意，也即任意初 始条件至多有一次过平衡位置； 一单自由度阻尼系统， 时，弹簧静伸长。自由振动20个循环后，振幅从降至。求阻尼系数c及20个循环内阻尼力所耗能量。 解：静平衡时： 系统固有频率 自由振动20个循环有： 此时 又， 则 20个循环内阻尼力所耗能量 已知单自由度无阻尼系统的质量和刚度分别为、，求该系统在零初始条件下被简谐力激发的响应。 解：系统的运动方程为： 初始条件是： 令方程特解为： 其中 由零初始条件知齐次方程解为零 系统的激发响应为： 质量为的机器安装在刚度和阻尼系数的隔振器上，受铅垂方向激振力作用而上下振动。求： (1) 当时的稳态振幅； (2) 振幅具有最大值时的激振频率； (3) 与之比值。 解： (1) 当时 (m) (2) 振幅最大时激振频率 (3) 振幅最大时激振频率 其中 一质量为的单自由度系统，经试验测出其阻尼自由振动频率为，在简谐激振力作用下位移共振的激振频率为。求系统的固有频率、阻尼系数和振幅对数衰减率。 解：位移共振时 又 那么 阻尼比 振幅对数衰减率 题1-12图 图示系统中刚性杆质量不计，写出运动微分方程。并分别求出和时质量的线位移幅值。 解：对绞支点取矩，系统的运动微分方程为 由上式有固有频率 阻尼比 静力幅 又稳态振动振幅 当时质量的线位移幅值： 当时质量的线位移幅值： 一电机质量为，转速为3000转/分，通过4个同样的弹簧对称地支承在基础上。欲使传到基础上的力为偏心质量惯性力的10%，求每个弹簧的刚度系数。 解：系统运动微分方程为： 由上式可得系统的稳定振型为： 其中 又 则 每个弹簧的刚度系数 发动机的工作转速为1500～2000 转/分，要隔离发动机引起的电子设备90%以上的振动，若不计阻尼，求隔振器在设备自重下的静变形。 解：隔振系统的固有频率 系统绝对运动传递率 由以上两式 又，即 可得 为测量频率为的简谐运动，分别设计位移传感器和加速度传感器，并要求其误差不超过10%。若取，问对传感器的固有频率有何限制？ 解：由题意知加速度传感器测得的振幅应为实际的90％，即 解得： 则要求 位移传感器测得的振幅应为实际的90％，即