概率与数理统计1-7.ppt

第七节 条件概率 某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率. 记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3; B ={取得红球} 求P(A1|B) 运用全概率公式 计算P(B) 将这里得到的公式一般化，就得到 贝叶斯公式 1 2 3 1红4白 ? 该公式于1763年由贝叶斯 (Bayes) 给出. 它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率. 贝叶斯公式在实际中有很多应用. 它可以帮助人们确定某结果（事件 B）发生的最可能原因. 概率论 概率论 条件概率 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式 在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率. 一、条件概率 1. 条件概率的概念 如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率，将此概率记作P(A|B). 一般地 P(A|B) ≠ P(A) P(A )=1/6， 例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}， B={掷出偶数点}， P(A|B)=？ 掷骰子 已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是B， P(A|B)= 1/3. B中共有3个元素,它们的出现是等可能的,其中只有1个在集A中. 容易看到 P(A|B) 于是 P(A )=3/10， 又如，10件产品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品，4件二等品. 现从这10件中任取一件，记 B={取到正品} A={取到一等品}， P(A|B) 则 P(A )=3/10， B={取到正品} P(A|B)=3/7 本例中，计算P(A)时，依据的前提条件是10件产品中一等品的比例. A={取到一等品}， 计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只是加上“事件B已发生”这个新的条件. 这好象给了我们一个“情报”，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题. 若事件B已发生, 则为使 A也发生 , 试验结果必须是既在 B 中又在A中的样本点 , 即此点必属于AB. 由于我们已经知道B已发生, 故B变成了新的样本空间 , 于是 有(1). 设A、B是两个事件，且P(B)0,则称 (1) 2. 条件概率的定义 为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率. 3. 条件概率的性质(自行验证) 2)从加入条件后改变了的情况去算 4. 条件概率的计算 1) 用定义计算: P(B)0 掷骰子 例：A={掷出2 点}， B={掷出偶数点} P(A|B）= B发生后的缩减 样本空间所含样 本点总数 在缩减样本空 间中A所含样 本点个数 例1 5个乒乓球，其中3个新球，2个旧球。每次取一个,不放回地取2次。（1）求第一次取到新球的概率； （2）在第一次取到新球的前提下，求第二次也取到新球的概率。 解法1 解法2 解 设A={第一次取到新球} B={第二次取到新球} 应用 定义 在A发生后的缩减样本 空间中计算 由条件概率的定义： 即 若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (2) 而 P(AB)=P(BA) 二、 乘法公式 若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB). 将A、B的位置对调，有 故 P(A)0 , 则 P(AB)=P(A)P(B|A) (3) 若 P(A)0,则P(BA)=P(A)P(B|A) (2)和(3)式都称为乘法公式, 利用 它们可计算两个事件同时发生的概率 同步训练15 设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？ 解 设A={能活20年以上}，B={能活25年以上} 依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4 所求为 P(B|A) . 乘法公式应用举例 例2 一个罐子中包含t个白球和r个红球. 随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进 a 个与所抽出的球具有相同颜色的球. 这种手续进行四次 ，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率. （波里亚罐子模型） t个白球, r个红球 于是 表示事件“连续取四个球，第一、第二个是红球，第三、四个是白球.