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津理十年汇编6立体
小题
(一)定理
1.【2005津4】、设、、为平面,为、、直线,则的一个充分条件是
A、 B、
C、 D、
【答案】D
2.【2006津理6】、设、是两条不同的直线,、是两个不同的平面.考查下列命题,其中正确的命题是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
3.【2007津理6】. 设为两条直线,为两个平面.下列四个命题中,正确的命题是 ( )
A.若与所成的角相等,则 B.若,则
C.若则 D.若则
【答案】D
4.【2008津理(4)】设是两条直线,是两个平面,则的一个充分条件是
(A) (B)
(C) (D)
【答案】C.
(二)几何体的度量
1.【2004年津6】. 如图,在棱长为2的正方体中,O是底面ABCD的中心,E、F分别是、AD的中点,那么异面直线OE和所成的角的余弦值等于( )
A. B. C. D.
【答案】B
2.【2004年津10】. 如图,在长方体中,AB=6,AD=4,。分别过BC、的两个平行截面将长方体分成三部分,其体积分别记为,,。若,则截面 的面积为
A. B. C. D. 16
【答案】C
3. 【2005津12】、若图,平面,且则异面直线PB与AC所成角的正切值等于__________。
【答案】
4. 【2006津理13】、如图,在正三棱柱中,.若二面角的大小为,则点到平面的距离为______________.
【答案】
5.【2007津理12】. 一个长方体的各顶点均在同一球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为则此球的表面积为.
【答案】
6.【2008津理12】一个正方体的各定点均在同一球的球面上,若该球的体积为,则该正方体的表面积为 .
【答案】24
7.【2009津理12】()如图是一个几何体的三视图,若它的体积是,则_______
【答案】。
8.【2010津理12】()一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为
【答案】
9.【2011津理10】.一个几何体的三视图如右图所示(单位:),则该几何体的体积为 .
.
),则该几何体的体积为 .
【答案】
大题
1.【2004年津19】. (本小题满分12分)
如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F。
(1)证明PA//平面EDB;
(2)证明PB⊥平面EFD;
(3)求二面角C—PB—D的大小。
方法一:
(1)证明:连结AC,AC交BD于O,连结EO。
∵底面ABCD是正方形,∴点O是AC的中点
在中,EO是中位线,∴PA // EO
而平面EDB且平面EDB,
所以,PA // 平面EDB
(2)证明:
∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD,∴
∵PD=DC,可知是等腰直角三角形,而DE是斜边PC的中线,
∴。 ①
同样由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC。
∵底面ABCD是正方形,有DC⊥BC,∴BC⊥平面PDC。
而平面PDC,∴。 ②
由①和②推得平面PBC。
而平面PBC,∴
又且,所以PB⊥平面EFD。
(3)解:由(2)知,,故是二面角C—PB—D的平面角。
由(2)知,。
设正方形ABCD的边长为a,则
,
。
在中,。
在中,,∴。
所以,二面角C—PB—D的大小为。
方法二:如图所示建立空间直角坐标系,D为坐标原点,设。
(1)证明:连结AC,AC交BD于G,连结EG。
依题意得。
∵底面ABCD是正方形,∴G是此正方形的中心,故点G的坐标为且
。
∴,这表明PA//EG。
而平面EDB且平面EDB,∴PA//平面EDB。
(2)证明;依题意得,。又,故。
∴。
由已知,且,所以平面EFD。
(3)解:设点F的坐标为,,则
。
从而。所以
。
由条件知,,即
,解得
∴点F的坐标为,且
,
∴
即,故是二面角C—PB—D的平面角。
∵,且
,,
∴。
∴。
所以,二面角C—PB—D的大小为。
2.【2005津19】、(本小题满分12分)
如图,在斜三棱柱中,,,侧面与底面ABC所成的二面角为120,E、F分别是棱、的中点。
(Ⅰ)求与底面ABC所成的角;
(Ⅱ)证明EA∥平面;
(Ⅲ)求经过、A、B、C四点的球的体积。
19、(I)解:过作平面平面,垂足为。连接,并延长交于,连接,于是为与底面所成的角。
因为,所以为的平分线
又因为,所以,且为的中点
因此,由三垂线定理
因为,且,所以,于是为二面角的平面角,即
由于四边形为平行四边形,得
所以,与
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