寻找解数学题突破口的途径.pdf

维普资讯 数 学 教 学 研 究 2005年第1期 曲线是点的集合．近几年的高考，常常出现解几与数 中，既要注重解几知识的纵向联系，又要注重解几知 列交汇的综合题，试题多以数列与曲线上点的坐标 识的横向联系，特别要关注与递推数列的交汇． 关系为背景，考查学生的应变能力和迁移能力．复习 寻找解数学题突破口的途径 冯 琳 (安徽技术师范学院基础部数理教研室 安徽凤阳 233100) 当代著名的数学家和数学教育家G ·波利亚曾 差异和联系，寻找合理的变化． 说：“学习数学在于解题”，“不仅善于解决一些标准 例2 已知si =sin(2a+JB)，证明： 问题，而且善于解一些要求独立思考、思路合理、见 tan(Ot+JB)=3tana． 解独特和有发明创造的习题 ”数学解题中，解题突 寻找突破口 已知条件中的角有卢、2a+卢，未 破口是解题的关键，是扣开问题解决大门的钥匙，而 知条件中的角有Ot+JB、Ot，注意到条件中的角和结论 让人感到最头疼、最困惑的是寻找解题的突破口．如 中的角的差异和联系，将角进行巧妙的变换：2 +JB 何解决这一问题呢?笔者就此作些探讨． = (Ot+JB)+Ot，卢=(Ot+卢)一Ot，解题的突破口就凸 1 用理论思维 现出来． “用理论思维”，首先是辨认结构，即观察所给问 事实上，将已知变为sin[(Ot+JB)一Ot]=[sin(a 题与已知哪条理论结构相同(或相近)，然后从结构 +JB)+Ot]，再运用和差公式，不难得证． 的对比中找到突破口．这样做能高屋建瓴，抓住本 3 合理转化结论 质，减少思维盲目性，所以，“用理论思维”应是寻找 转化是一种非常重要且行之有效的数学思想方 解题突破口优先考虑的途径． 法，通过知识之间的联系把要解决的问题转化为我 们熟悉的、已经解答过的或更易于接近的问题，这对 例1 求Y= 二 的最值． CO~ t；一 二 解题突破口的获得常常是有帮助的．转化结论应是 寻找突破口 yg分式函数，其结构与斜率公式 我们寻找解题突破口的一个主要源采 相似，由此可联想成定点Q(2，1)和单位圆上的动点 例3 设a、b、c为正实数，且a+b+c=3， + P(co溉，sinx)连线的斜 率，当直线PQ与单位圆 f)I Q， ÷+ =3，求证abc=1． 相切时，切线的斜率就 是所求函数的最值，这 厂、＼、／ 寻找突破口 由已知与未知等式的结构形式 一 样就找到了使用斜率公 上的特点，联想到 “均值不等式”这一知识点，将 l1 “ 式的突破口． abc=1”这一 “相等”问题转化为两个 “不等”问题 在图1中易求得k “ abc≥1”和 a“bc≤1”，这样问题便迎刃而解．