探求直线斜率取值范围的思维途径.pdfVIP

高中数学教与学 2010年 探求直线斜率取值范围的思维途径 陈华安 (广东省佛山市顺德区容桂职业技术学校 ，528303) 求直线斜率的取值范围是平面解析几何 (2)设直线 Z的方程是Y= + ( ≠ 考查的重点内容之一，解决这类 问题的关键 0)．点M(。，Y。)，N( ，Y)的坐标满足方程组 是要根据 已知条件建立关于斜率的不等式， rY=kx+m， ① 可以从以下几方面思考解决问题，寻找解题 l ～ =1． ② 的切入点． 一 、 利用直线与二次曲线相交 将① 式代入② 式，整理得 例 1 (2008年安徽高考题)若过点A(4， (5—4k) 一8kmx一4rr 一20=0． 0)的直线z与曲线 (一2)。+Y。=1有公共点， 此方程有两个不等实根 ，于是5—4 ≠ 则直线z的斜率的取值范围是— —．．． 0，且△：(一8kni)+4(5—4k)(4m +20) (A)[一 ， ] (B)(一 ， ) 0．整理得 cc)一【孚，】cD)(一字，芋) m +5—4k 0． ③ 由根与系数的关系可知线段 MN的中点 解 依题意，设直线z的方程是Y=k( 坐标 (。，Yo)满足 一 4)，即kx—y一4k：0，因此 由题意得圆心 … xI±X2— 4kni (2，0)到直线f的距离不超过该圆的半径，即 。一 2 —5—4k ’ 5m 有 +1 由此解得一譬≤≤孚0．故 Yo kx。+m ’ 选 C． 从而线段MN的垂直平分线方程为 评注 利用直线与圆相交，圆心到直线 5m 1， 4kni 、 Y— i 一 I一 的距离不大于该圆的半径建立关于斜率的不 等式，解之可求得斜率的取值范围． 此直线与 轴 、Y轴的交点坐标分别为 例2 (2008年天津高考题)已知中心在 ( ，0)，(0， )． 原点的双曲线c的一个焦点是 F(一3，0)，一 由题设可得 条渐近线的方程是 一2y=0． (1)求双曲线 c的方程； 1l9kni II9m I 81 2I5—4 ll5—4kI 2’ (2)若以j}(．j}≠0)为斜率的直线z与双曲 线c相交于两个不同的点M，』v，线段MN的垂 整理得m2： ， ≠0． 直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为