椭圆共轭直径的三个新命题.pdf

2014年第4期 中学数学教学 21 椭圆共轭直径的三个新命题 江苏省兴化中学张乃贵 (邮编：225700) 近年来，解析几何中关于椭圆共轭直径的问 题成为高考和数学竞赛的热点内容．笔者对这类 眠川∞=一箬，差=一箬．口。ZlZ2 口。 问题进行了系统的研究，概括得到用途广泛的三 所以警+警：o． 个新命题，现整理成文与大家交流． 口。 6。 为了方便大家学习研究，我们先来介绍椭圆 当z32一z42=0时，即z3=z4或z3一一z4． 共轭直径相关的定义． 当z。=z；时，共轭直径AB、CD分别成为椭 定义1 连接椭圆上任意两点的线段叫 圆的短轴和长轴；当z。=一z。时，共轭直径AB、 做弦． CD分别成为椭圆的长轴和短轴． 定义2 经过椭圆中心的弦叫做椭圆的 直径． 显然也有 等+等_o． 定义3 过平行于椭圆一条直径的弦的中点 所以总有艺尹+之竽=o． 的直线和该直径叫做椭圆的一对共轭直径． 2 从上面的证明可以看到，当一对共轭直径所 ’2 v 性质 已知AB、cD是椭圆与+鲁=1(n 在直线的斜率都存在时，它们的斜率之积为 z， 6O)的一对共轭直径，设A(z。，y，)，C(z 一氅；当一直径所在直线斜率为o，另一直径所在 y：删等+等_0． 直线斜率不存在．这样我们可以把椭圆的共轭直 径定义为： 证明 如图1，设EF是与直径AB平行的 任意一条弦，它与直径CD相交于P(z。，y。)点， 则点P是线段EF的中点． 设 E(z3)，F(z4， )，一 3，y 的两条直径的斜率之积为一鸶，则称它们是椭圆 y4)，则 譬奄 入蕊一 的一对共轭直径．(2)当一直径所在直线斜率为 2 1 ①… 箬+善一1 o，另一直径所在直线斜率不存在，即椭圆的长轴 口2 ’6 、泛潞； 和短轴，也把它们称为一对共轭直径． 2 。 ②… 箬+菩：1 口2。6 图1 反之，若AB、cD是椭圆薯+笔：1(口6 由①一②得 口。 D。 2 2 z2一z 3 4 y32一y4 ‘ 2 2 o)的直径，且三字+专导=o，可以证明AB、 n 6 当