06年线性代数与几何下第1次课-北京大学力学系.PPT

* 北京大学工学院 线性代数与几何（下） * 第四章 向量代数、平面与直线（第23次课） §5 混合积与复合积 定义：三个向量α, β, γ的混合积是一个实数，它等于向量α, β先做向量积，然后再与γ作数量积，记为(α, β, γ)，即 (α, β, γ) =(α?β)·γ 几何意义：设α, β, γ不共面，过点O作一个以α, β, γ的棱的平行六面体，它的底面为α, β所决定的平面，其高为h，体积为V，作α?β，并记α?β与γ的夹角为θ。混合积就是这个六面体的体积V。六面体的平行四边形底的面积为 |α?β|，高与底面垂直，因而与α?β共线，其长度是γ在α?β上的投影，即 h = |γ cosα?β,γ| 因此 当α?β,γ为锐角时，cosα?β,γ大于零，(α, β, γ)0，α, β, γ符合右手系； 当α?β,γ为钝角时，cosα?β,γ小于零, (α, β, γ)0；α, β, γ符合左手系。 对于给定的轮转（奇偶排列）：大小一样，但需确定正负号。所谓的“正负号”定下了体积的方向，所以称 (α, β, γ) 为有向体积或定向体积。 * 性质： 轮转对称性：(α, β, γ) = (γ, α, β) = (β, γ, α) (α, β, γ) = ?(β, α, γ) (kα, β, γ) = (α, kβ, γ) = (α, β, kγ) = k(α, β, γ), 对任意的实数k (α1+α2, β, γ) = (α1, β, γ) + (α2, β, γ) (α, α, γ) = 0 例题 3.19，3.20 * 直角坐标系 (O; i, j, k)下的混合积计算（右手系） 我们看到 混合积等价于 “行列式” 例题 3.21， 3.22 * 直角坐标系下四面体ABCD的体积：A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2), C(x3,y3,z3), D(x4,y4,z4) * * 复合积 定义：三个向量α, β, γ的复合积（双叉积或双重外积）是一个向量，它等于两个向量先做向量积，然后再与第3个向量作向量积。如：(α?β)?γ，α?(β?γ)等。 首先结合律不成立：(α?β)?γ ≠ α?(β?γ) 复合积公式（中项原则） 例题3.23， 3.24, 3.25, 习题14（5） * 第二次课作业 P123: 18, 21, 22, 23 *