13行列式按一行列展开.PPT

中值定理与导数的应用 1.3.3 小结 * §1.3 行列式按一行(列)展开 1.3.3 小结 1.3.1 展开公式 1.3.2 行列式的计算(3) 容易验证： 可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式 的计算. 问题：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个 n-1 阶行列式来计算？ 1.余子式与代数余子式 1.3.1 展开公式 定义1.3.1 在 n 阶行列式中，把元素 所在的第 i 行和 第 j 列划去后，余下的 n－1 阶行列式叫做元素 的余子式.记为 称 为元素 的代数余子式. 例如： 注意：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式 和一个代数余子式. 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 定理1.3.1 证明 （先特殊，再一般） 分三种情况讨论，我们只对行来证明此定理. (1) 假定行列式D的第一行除 外都是 0. 2.行列式按一行（列）展开法则 由行列式定义，D 中仅含下面形式的项 其中 恰是 的一般项. 所以 (2) 设 D 的第 i 行除了 外都是 0 . 把D转化为(1)的情形 把 D 的第 行依次与第 行，第 行，······， 第2行，第1行交换；再将第 列依次与第 列， 第 列，······， 第2列，第1列交换，这样共经过 次交换行与交换列的步骤. 由性质2，行列式互换两行（列）行列式变号， 得 (3) 一般情形 例如，行列式 按第一行展开，得 证毕. 行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 定理1.3.2 证明 由定理1.3.1，行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的乘积之和. 在 中，如果令第 i 行的元素 等于另外一行，譬如第 k 行的元素 则 第i行 右端的行列式含有两个相同的行，值为 0. 综上，得公式 简记为 称为克罗内克符号. 利用按行按列展开定理，并结合性质，可简化行列式计算： 计算行列式时，可先用行列式的性质将某一行（列）化为仅含1个非零元素，再按此行（列）展开,变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式. 在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式 并不一定简化计算，因为把一个n阶行列式换成n个 （n－1）阶行列式的计算并不减少计算量，只是 在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应 用展开定理才有意义.但展开定理在理论上是重要的. 例1 计算行列式 解 按第一行展开，得 1.3.2 行列式的计算(3) 例2 计算行列式 解 例3 计算行列式 例4 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式 证明 用数学归纳法 (1)当n=2时, 结论成立. (2)设n－1阶范德蒙德行列式成立，往证n阶也成立. n-1阶范德蒙德行列式 证毕. 学生练习：用降阶法 （按行按列展开） 计算行列式的值. =57 例5 按第二列展开 按第二行展开 计算方法: (1)化上(下)三角形法; (2)降阶法. 例6 例7 箭形行列式 目标：把第一列化为 成上三角形行列式 例8 例9 （可以化为箭形行列式） * *