26行列式按一行列展开.DOC

§6 行列式按一行（列）展开 一、余子式、代数余子式 我们知道,三级行列式可以通过二级行列式表示; 那么，对于n级行列式是否也可以通过n级行列式表示呢？为此我们先给出余子式和代数余子式的概念。 定义8 在行列式 中划去元素 所在的第i 行与第 j列,剩下的 个元素按原来的排法构成一个n-1级行列式 (3) 称为元素 的余子式,记为 。 令，称为元素的代数余子式． 按这个定义, 则有 引理1 ＝ 证明： （） 引理2 = 证明： 这里,第一步是依次的把第i 行与他下边的一行对换，直到把它换到第 n行为止，这样一共换了 n-i 次，因之行列式差异一个符号；第二步是同样地把第j 列切换到第 n列。 定理3 证明 推论 设 表示元素的代数余子式，则下列公式成立： 即 ， ． 证明： ． 在计算数字行列式时，直接应用展开式不一定能简化计算，因为把一个n级行列式得计算换成n-1级行列式得计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用展开式时才有意义。但这两个式子在理论上是重要的。 例1 计算行列式 D= 解 D= 例2 , 求． 解 法1 因为 与的第1列元素的代数余子式相同 所以将按第1列展开可得． 法2 因为的第3列元素与的第1列元素的代数余子式相乘求和为0,即 所以 例3 计算． 解 例4 证明范德蒙行列式 证明：用数学归纳法 时， 假设对于级范德蒙行列式结论成立。 例： ． 注：范德蒙行列式中，至少有两个相等． 例5 证明 证明 用数学归纳法. 当 k=1 ,左端为 按第一行展开,就得到所要结论 假设对 k=m-1 ,即左端行列式的左上角是 m-1级时已经成立,现在来看 k=m 的情形,按第一行展开.有 附：行列式计算方法小结 定义法：适用于0比较多的行列式。 利用7条基本性质。 按行（列）展开─降级．适用于某行（列）0较多的行列式。 其他方法。