32 算符的运算规则 - Oriyao.PPT

3.2 算符的运算规则 3.2 算符的运算规则 3.2 算符的运算规则 3.2 算符的运算规则 3.2 算符的运算规则 3.2 算符的运算规则 3.2 算符的运算规则 3.2 算符的运算规则 3.2 算符的运算规则 3.2 算符的运算规则 3.2 算符的运算规则 3.2 算符的运算规则 3.2 算符的运算规则 3.2 算符的运算规则 3.2 算符的运算规则 3.2 算符的运算规则 3.2 算符的运算规则 3.2 算符的运算规则 * * 3.2.1 算符的定义 所谓算符，是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号。若某种运算把函数 变为 ，记作 则表示这种运算的符号 就称为算符。 如果算符 作用于一个函数 ，结果等于乘上一个常数 ，记为 则 为 的本征值， 为 的本征函数，上述方程称为 的本征方程。 （3.2.1） 其中 、 为任意函数， 、 为常数，则 称为线性算符。 若算符满足： （3.2.2） （3.2.3） 若算符满足： 为任意函数，则称 为单位算符。 3.2.2 算符的运算规则 为任意波函数。显然，算符之和满足交换率和结合律 算符之和 （3.2.4） 显然，线性算符之和仍为线性算符。 算符之积 注：一般情形 （3.2.5） （3.2.6） 比方，取 则 但 因此 （3.2.7） 从（3.2.8）可见， 由于 是任意函数，从(3.2.7)式得 （3.2.8） 记 和 之差为 （3.2.9） 称为算符 ， 的对易关系或对易子。 式（3.2.8）可记为 若算符 和 的对易子为零，则称算符 和 对易。 利用对易子的定义（3.2.9）式，易证下列恒等式 最后一式称为雅可比恒等式。 （3.2.10） 作为例子，我们讨论角动量算符 （3.2.11） 上式中 ， ， =1,2,3表示相应的分量， 成为列维-斯维塔记号，满足 任意两个下脚标相同，则 为零。 （3.2.14） （3.2.12） 它们和坐标算符的对易子是 （3.2.12）式可表示为 （3.2.13） 同理可得 （3.2.16） （3.2.15） 式中不为零的等式也可写成 （3.2.17） 坐标和动量的对易子可写为 （3.2.18） 其中 （3.2.19） （3.2.20） 角动量算符的平方是： （3.2.21） 则 （3.2.22） 在球坐标系下 （3.2.23） 则 （3.2.24） 将r 两边对x 求偏导，得 （3.2.25） 将 两边对x求偏导，得： （3.2.26） 再将 两边对x求偏导，得： 利用这些关系式可求得： （3.2.27） （3.2.28） 同理可得： （3.2.29） （3.2.30） （3.2.31） （3.2.32） 则角动量算符可表示为： （3.2.34） （3.2.35） （3.2.33） 由此可得： （3.2.36） 所以 则 的本征方程可写为： （3.2.37） （3.2.39） （3.2.38） 在数理方法中已讨论过，必须有： 可解得： 为归一化系数， 为连带勒让得多项式。 所以 （3.2.40） 因为 表示角动量太小，所以称为角动量量子数， 称为磁量子数。 对应于一个 的值， 可以取 个值，因而对于 的一个本征值 ，有 个不同的本征函数 。我们把对应于一个本征只有一个以上的本征函数的情况叫简并，把对应于同一本征值的本征函数的数目称为简并度。 的本征值是 度简并的。 （3.2.41） 同理： 即在 态中，体系的角动量在 轴方向投影为 一般称 的态为 态， 的态依次为 态。 现在考虑角动量算符的物理意义。设体系绕 轴滚 动 角并以 算符变换表示： ， （3.2.42） 当 ，即在无穷小转动下，对 做泰勒展开，准确 到一级项有 因此，状态 在空间转动后变为另一状态 ，它 等于某个变换算符作用于原来态上的结果，而该变换算 符 ，特别在无穷小转动下， ， 角动量算