99课纲第四册二次曲线1抛物线.PDF

(99課綱 ) 第四冊 第四章 二次曲線 4- 1 拋物線 【目標】 首先由拋物線的定義及拋物線的尺規描點作圖來認識拋物線 ；再以解析法推導出 拋物線的標準式及經過平移､伸縮後的拋物線方程式 ，作為進一步探討拋物線的 基礎。 【討論】 在西元十五世紀之前 ，人們一直相信地球是宇宙的中心，直到十六世紀哥白尼 (波 蘭 ，1473～1543)首先提出日心學說，認為所有行星都是循著圓形軌道繞太陽運 行，之後伽利略 (義大利，1564～1642)改良了傳統望遠鏡，用來觀察行星軌跡， 而大力支持日心學說。另一方面 ，克卜勒 德國( ，1571～1630)也根據對火星的長 期觀測，修正了哥白尼圓形軌道的理論 ，著名的克卜勒定律指出行星循橢圓軌道 繞行太陽。最終牛頓(英國，1643～1727)提出萬有引力定律 ，並用數學證明在單 一重力源的作用下，天體的運行軌道有且只有三種，即 拋物線､橢圓､雙曲線 ， 這三種曲線都是平面曲線 ，且可以二次方程式描述，統稱為二次曲線。 【定義】 1. 直圓錐面： 空間中，兩不互相垂直的直線L ,M 相交於一點 V ，固定直線L 為軸，將直 線 V M 繞點 在空間中旋轉一周，所得的圖形稱為直圓錐面，其中直線 L稱 為主軸，點 V稱為頂點 ，變動的直線 M 在空間中的每一個位置都稱為母線。 2. 直圓錐面與不過頂點的平面之截痕： V 設 L ,M是相交於 點的兩條直線，讓 M 以L 為軸旋轉，所得的曲面就是一 個直圓錐面 Ω E Ω ，再用一個不過V點的平面 去切割 ，所得的曲線稱為圓 L ,M L β 錐曲線。設 的夾角為 α ，割平面和軸線的夾角為 ，則 π (1) 當 β 時，即平面與主軸垂直，截痕為圓。 2 π (2) 當 β α時，即平面稍傾斜時，截痕為橢圓。 2 (3) 當 β α時，即平面再稍傾斜使它與一母線平行時，截痕為拋物線。 (4) 當 0 ≤β α時，即平面再傾斜使它與直圓錐面的上下兩部分都相交 時，截痕為雙曲線。 1 【問題】 x y z 1. 直線L : ，L 與z軸交於 (0,0,0) ，將z軸固定而 L 繞z軸旋轉一周所 1 1 1 得的直圓錐面 Ω ，試判別下列各題分別為何種圖形： (1)平面E : z 3 ，E 與Ω的交線。 (2)平面F : 2x −y −z 3 ，F 與Ω的交線。 G : 2x +2y +z 1 Ω (3)平面 ，G 與 的交線。 (4)平面H : x −2y −2z −4 0 ，H 與Ω的交線。 2. 平面與直圓錐面Ω的截痕還有哪些圖形？ 解：直圓錐面與過頂點的平面之截痕有一點、一直線、兩相交直直線。 ) ( 3. 若將直圓錐面 Ω改成直圓柱面後，則截痕有哪些可能圖形？ 4. 直圓錐面方程式如x 2 +y 2 z 2 ；直圓柱面方程式如x 2 +y 2 c2 。 2 【圖形】 圓錐曲線 (conic section)常見圖形： 1. 圓 (circle) ： 2. 橢圓(ellipse) ： 3. 拋物線(parabola) ： 4. 雙曲線(hyperbola) ：