空间解析几何与向量代数7-3.ppt

高等数学电子教案 武汉科技学院数理系 第三节 平面及其方程 空间直线的方程. 一 平面的点法式方程 量n={A,B,C}已知时,平面π的位置就确定了. 本节和下一节里,我们用向量作为工具,在空间直角坐标 系中讨论最简单的空间图形---平面和直线.建立平面和 如果一非零向量垂直于一平面,这向量就叫做该平面的 法线向量. 简称法向量.由于法向量与平面垂直,所以法向量 与平面上的任一向量都垂直. 我们知道,过空间一点可作而只能作一个平面垂直于一已知 直线, 所以,当平面π上的一点M0(x0,y0,z0)和它的一个法向 n x z y M0 M π 它和平面π的法向量垂直. n⊥M0M 即 n·M0M=0 方程(1)是平面π上一点所满足的方程. M(x,y,z)是平面π上的一点,向量M0M是平面上的一条直线, 解:由平面方程(1),所求的平面方程为 解:由于过已知三点的平面法向量n和M1M2,M1M3都垂直,而 反之,如果M(x,y,z)不在平面π上,则它不能满足方程(1) 式.所以方程(1)就是过点M0(x0,y0,z0),而以n=(A,B,C)为法 向量的平面方程,称为平面π的点法式方程. 例1 求过点(1,-2,0),且以n={6,-4,3}为法向量的平面方程. 例2 求过三点M1(0,4,-5), M 2(-1,-2,2), M3(4,2,1).的平面方程 样的. 这里的M0可以为上面三点中的任意一点,其平面方程是一 二 两平面的夹角 按两向量夹角的余弦公式,得到 1,定义: 两平面法向量所夹的锐角称为两平面夹角. 2,求法: n1; A1x+B1y+C1z+D1=0 n1={A1,B1,C1} n2; A2 x+B2 y+C2 z+D2 =0 n2={A2,B2,C2} 解:由公式(5)可得到 例1 求平面4x-5y+3z-1=0,x-4y-z+9=0的夹角. {1,1,-1} 例2 一平面通过两点M1(1,1,1),M2(2,2,2),且垂直于平面 x+y-z=0.求它的方程. 解:设所求的平面方程为:A(x-1)+B(y-1)+C(z-1)=0 (点法式 方程) 其中一个法向量为n={A,B,C}, 因为M1M2={2-1,2-1,2-1} ={1,1,1}在所求的平面内,所以向量M1M2必定垂直于法 向量n.我们有A1A2+B1B2+C1C2=0即A+B+C=0 (6) 又所求的平面垂直于平面x+y-z=0.该平面的法向量是 我们有A+B-C=0 (7) 由(6),(7)式,(6)+(7)=2(A+B)=0,→A=-B, (6)-(7)=2C=0 得到c=0,A=-B (8) 由(8)式得到-B(x-1)+B(y-1)=0即 x-y=0 就是我们所求的方程. 点p0(x0,y0,z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离公式为 便得到 例3 求一点(2,1,1)到平面x+y-z+1=0的距离. 利用公式(9),