第02-02章 现代密码技术及其应用-密码技术.ppt

实例：求平行线L1：X+2Y+3Z=0 与 L2：X+2Y+Z=0 相交的无穷远点。 解： 因为L1∥L2 所以有Z=0， X+2Y=0； 所以坐标为（-2Y:Y:0），Y≠0。 即（-2:1:0）（-4:2:0）（-2.4:1.2:0）等形如（-2Y:Y:0）, Y≠0的坐标，都表示这个无穷远点。 看来这个新的坐标体系能够表示射影平面上所有的点，把这个能够表示射影平面上所有点的坐标体系叫做射影平面坐标系 (2) 椭圆曲线 一条椭圆曲线是在射影平面上满足方程 Y2Z+a1XYZ+a3YZ2=X3+a2X2Z+a4XZ2+a6Z3 [2-1] 的所有点的集合,且曲线上的每个点都是非奇异(或光滑)的 1) Y2Z+a1XYZ+a3YZ2 = X3+a2X2Z+a4XZ2+a6Z3 是Weierstrass方程，是一个齐次方程;(维尔斯特拉斯, Karl Theodor Wilhelm Weierstrass,1815-1897) 2) 椭圆曲线的形状，并不是椭圆的。只是因为椭圆曲线的描述方程，类似于计算一个椭圆周长的方程，故得名 3) 所谓“非奇异”或“光滑”的，在数学中是指曲线上任意一点的偏导数Fx(x,y,z)，Fy(x,y,z)，Fz(x,y,z)不能同时为0。即满足方程的任意一点都存在切线 4) 椭圆曲线上有一个无穷远点O∞（0:1:0）,其满足方程[2-1] 知道了该无穷远点，就可以把椭圆曲线放到普通平面直角坐标系上了。 因为普通平面直角坐标系只比射影平面坐标系少无穷远点 设x=X/Z ，y=Y/Z代入方程[2-1]得到：  y2+a1xy+a3y = x3+a2x2+a4x+a6 -------[2-2] 也就是说满足方程[2-2]的光滑曲线加上一个无穷远点O∞，组成了椭圆曲线。 为了方便运算、表述以及理解，今后论述椭圆曲线将主要使用[2-2]的形式 (3) 椭圆曲线上的加法 运算法则： 任意取椭圆曲线上两点P、Q (若P、Q两点重合，则做P点的切线)做直线交于椭圆曲线的另一点R’，过R’做y轴的平行线交于R。规定P+Q=R。 椭圆曲线加法法则祥解 ▲ 这里的+不是实数中普通的加法，而是从普通加法中抽象出来的加法，具备普通加法的一些性质，但具体的运算法则显然与普通加法不同。 ▲ 根据这个法则，可以知道椭圆曲线无穷远点O∞与椭圆曲线上一点P的连线交于P’，过P’作y轴的平行线交于P，所以有无穷远点 O∞+ P = P 这样，无穷远点 O∞的作用与普通加法中零的作用相当，把无穷远点 O∞ 称为零元。同时把P’称为P的负元（简称，负P；记作，-P）。 ▲ 根据该法则，可知 ：如果椭圆曲线上的三个点A、B、C，处于同一条直线上，那么它们的和等于零元，即A+B+C= O∞ ▲ k个相同的点P相加，记作kP。3P = P+P+P = R+P = S。 利用P、Q点的坐标(x1,y1)，(x2,y2)，求出R=P+Q的坐标(x4,y4)。 例4.1：求椭圆曲线方程y2+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a6上， 平常点P(x1,y1))，Q(x2,y2)的和R(x4,y4)的坐标。 解： 1）先求点-R(x3,y3) 因为P,Q,-R三点共线，故设共线方程为y=kx+b, 其中 若P≠Q(P,Q两点不重合) 则直线斜率k=(y1-y2)/(x1-x2) 若P=Q(P,Q两点重合) 则直线为椭圆曲线的切线，此时K值为： k=- Fx(x,y)/ Fy(x,y) = (3x12+2a2x1+a4 -a1y1) /(2y1+a1x1+a3) 因此P,Q,-R三点的坐标值就是方程组： y2+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a6 ------------------------[E1] y=(kx+b) ------------------------[E2] 的解。 将[E2]，代入[E1] 有 (kx+b)2+a1x(kx+b)+a3(kx+b) =x3+a2x2+a4x+a6 --------[E3] 将[E3]化为一般方程，根据三次方程根与系数关系（当三次项系数为1时；-x1x2x3 等于常数项系数，x1x2+x2x3+x3x1等于一次项系数，-(x1+x2+x3)等于二次项系数） 所以： -(x1