第二章序列的双重性即变换法的统一性 - read.ppt

第二章 序列的双重性及变换法的统一性 本章重点（主要参考“变换法的统一分析法及序列的双重性原理”，《电子学报》，vol.13，No.2，1985） 熟悉信号变换的统一性 掌握信号序列的双重性原理 了解双重性原理的应用 本章从另一个角度研究信号及信号的分析方法。通过研讨应获得更多启示：信号序列具有双重性；研究信号的各种变换实质是统一的；利用双重性原理对信号性质和处理方法进行讨论。 第二章 序列的双重性及变换法的统一性 信号变换的统一性(Uniformity of Signal Transform) 信号分析通常从两个方面研究：时域与频(变换)域。 从时域主要研究信号的瞬时特性；从频域主要研究信号的稳态统计特性，从信号本质来说，信号的时域表述和频(变换)域表述是等效的。 信号的分类及对应的变换(Classification and Transform of Signals) 信号变换的统一性 常用信号类型主要有四种：连续非周期信号、离散非周期信号、连续周期信号和离散周期信号。总结它们的时频关系如下： 付氏变换关系(FT)：连续非周期时间信号频谱也是非周期的连续函数； 付氏Z变换（序列的付氏变换）关系(FZT)：离散非周期序列的频谱是周期性的连续函数； 付氏级数关系(FS)：连续周期信号的频谱是非周期的离散序列； 离散付氏级数关系（DFS)：离散周期序列频谱是周期性的离散序列 。 上述四种信号时频关系示意图如下图所示： 信号时频关系示意图 信号变换的统一性 信号时频关系的规律和物理意义(The Physical Meaning and Time-Frequency Rules of Signals) 上述联系信号时域与频域间的变换关系是反映信号时频间的内在本质关系。 总结上述关系，可得信号时域与频域间联系规律和物理意义为：“周期 离散；连续 非周期”。即：信号在一个域是周期（非周期）的，则在另一个域是离散（连续）的；时频两域通过变换是对称的。 各类信号的变换(Transforms of Signals) 通过讨论各类信号的变换，可以将FT、FS、FZT和DFS四种变换统一为FT一种变换，后三种变换实际上是特殊条件下的FT，从而揭示序列的双重性。 信号变换的统一性 离散非周期时间信号(Non-periodic Discrete-Time Signals) 离散非周期时间信号f(mT1)的FZT x(mT1)与其频谱的关系为付氏Z变换（序列的付氏变换）关系，即： 式中，T1为序列的间隔； 为频谱的周期，如上图所示。 付氏Z变换对定义为： 信号变换的统一性 式中，?＝?/T1＝?1/2 将序列写成单位脉冲表达形式，有： 离散非周期时间信号f(mT1)的FT 若用冲激函数描述，离散序列fx(mT1)可表示为 ，即看作连续信号的取样，对其作付氏变换： 证明：由付氏变换定义，有： 信号变换的统一性 比较x(mT1)FZT定义，有： 从前面分析可见，上式具有双重性：若看作是FT对时， x(mT1)是连续冲激序列的简写；若看作是FZT对时， x(mT1)是离散脉冲序列的简写。进一步可推出x(mT1)也具有双重性。 信号变换的统一性 周期连续信号(Periodic Continuous-Time Signals) 周期连续信号可用FST和FT对描述。 周期连续信号的FST 设周期信号 ，其周期为T，我们知道其频谱为FST： FST变换对定义为： 式中：?0＝2?/T。X(n?0)是 的频谱，它是一个频域离散序列，其间隔为?0。 信号变换的统一性 由于X(n?0)是离散序列，所以也可写作： 周期连续信号的FT 由付氏变换定义，可以证明 的FT为： 证明：设 信号变换的统一性 式中， 由付氏变换，又有： 由卷积定理： 信号变换的统一性 从而有： 结合周期连续信号的FS和FT定义式，可统一写作： 从前面分析可见，上式具有双重性：若看作是FT对时， X(n?0)是连续冲激序列的简写；若看作是FS对时， X(n?0) 是离散脉冲序列的简写。由此可见，频域序列X(n?0)也具有双重性。 信号变换的统一性 周期离散序列(Periodic Discrete Sequences) 已知周期离散序列的频域序列是它的DFS，实际上除此外，还可用FT、FS和FZT联系周期离散序列的时频域关系。 周期离散序列的DFS 设周期离散序列a(m)，周期为N，其频域序列A(n)仍为周期