第五章定积分应用1.ppt

2 * 定积分应用 定积分的微元分析法 用定积分表示的量U必须具备三个特征 : 一 . 能用定积分表示的量所必须具备的特征 (3) 部分量 的近似值可表示为 二 .微元分析法 则U相应地分成许多部分量; 用定积分表示量U的基本步骤: (1) U是与一个变量x的变化区间[a,b]有关的量; (2) U 对于区间[a,b]具有可加性. 即如果把区[a,b] 分成许多部分区间, 根据问题的具体情况,选取一个变量 (2) 在区间[a,b]内任取一个小区间 , 求出相应于这个小区间的部分量 的近似值. 在 处的值 与 的乘积, 就把 称为量U的微元且记作 , 即 如果 能近似地表示为[a,b]上的一个连续函数 例如x为积分变量,并确定其变化区间[a,b]; (3) 以所求量U的微元 为被积表达式, 在区间[a,b]上作定积分,得 平面图形的面积 一 直角坐标情形 1 . 曲边梯形 当f(x)在[a,b]上连续时, 由曲线y=f(x)和x=a,x=b及x轴 所围成的曲边梯形面积就是 2. 一般图形 以及两条直线x=a,x=b之间的图形的面积微元为 如果函数 在[a,b]上连续, 且 则介于两条曲线 注意:根据具体的图形特点,也可以选择作为积分变量或者利用图形的对称性简化计算. 例1 求椭圆的面积(如图). 解 由对称性,椭圆的面积 其中 为椭圆在第一象限部分. x y o y x a b o x x+dx 则图形的面积为 则 例2 求由 所围图形面积. 解 两抛物线的交点为(0,0)及(1,1). 取x为积分变量,其变化区间为[0,1].由前面讨论可知: (1,1) o y x 例3 求由 所围图形面积. 解 两曲线的交点为(2,-2)及(8,4). 根据此图形特点,可以选择y作为积分变量,其变化区间为[-2,4]. y x (2,-2) (8,4) 图形的面积微元为: 从而可得图形面积 二. 极坐标情形 1. 曲边扇形 其中r(?)在[? ,?]上连续,且r(?)?0. 相应于[?, ?+d?]的面积微元为 则图形面积为 o r=r(?) 设图形由曲线r=r(?)及射线?=?, ? =?所围成. 取?为积分变量,其变化区间为[? ,?], *