高考数学解题破题36计 第1计 芝麻开门 点到成功 计名释义 七品芝麻 .doc

高考数学解题破题36计都换成分数，就得到一个如下图所示的分数三角形，称来莱布尼茨三角形. 从莱布尼茨三角形可以看出 ，其中 . 令， 则 . ［分析］ 一看此题，图文并举，篇幅很大，还有省略号省去的有无穷之多，真乃是个庞然大物. 从何处破门呢？我们仍然在“点”上打主意. 莱布三角形，它虽然没有底边，但有个顶点，我们就打这个顶点的主意. ［解Ⅰ］ 将等式与右边的顶点三角形对应（图右），自然有 对此，心算可以得到：n =1，r =0，x=1 对一般情况讲，就是x = r+1 这就是本题第1空的答案. ［插语］ 本题是填空题，只要结果，不讲道理. 因此没有必要就一般情况进行解析，而是以点带面，点到成功. 要点明的是，这个顶点也可以不选大三角形的顶点. 因为三角形中任一个数，都等于对应的“脚下”两数之和，所以选择任何一个“一头两脚”式的小三角形，都能解出x = r+1. 第2道填空，仍考虑以点带面，先抓无穷数列的首项. ［解Ⅱ］ 在三角形中先找到了数列首项，并将和数列 中的各项依次“以点连线”（图右实线），实线所串各数之和就是an . 这个an，就等于首项左上角的那个. 因为在向下一分为二进行依次列项时，我们总是“取右舍左”，而舍去的各项（虚线所串）所成数列的极限是0. 因此得到 这就是本题第2空的答案. ［点评］ 解题的关键是“以点破门”，这里的点是一个具体的数，采用的方法是以点串线——三角形中的实线，实线上端折线所对的那个数就是问题的答案. 事实上，三角形中的任何一个数（点）都有这个性质. 例如从这个数开始，向左下连线（无穷射线），所连各数之和（的极限）就是这个数的左上角的那个数. 用等式表示就是 ［链接］ 本题型为填空题，若改编成解答题，那就不是只有4分的小题，而是一个10分以上的大题. 有关解答附录如下. ［法1］ 由知，可用合项的办法，将的和式逐步合项. ［法2］ 第二问实质上是求莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数的和，即 根据第一问所推出的结论只需在原式基础上增加一项，则由每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和，结合给出的数表可逐次向上求和为，故，从而 ［法3］ （2）将代入条件式，并变形得 取令得 ， … … … 以上诸式两边分别相加，得 ［说明］ 以上三法，都是对解答题而言. 如果用在以上填空题中，则是杀鸡动用了牛刀. 为此我们认识到“芝麻开门，点到成功”在使用对象上的真正意义. ●对应训练 1．如图把椭圆的长轴AB分成8份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|+|P2F|+……+|P7F|=_______. 2．如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，P，Q分别是侧棱AA1，CC1上的点，且A1P=CQ，则四棱锥B1—A1PQC1的体积与多面体ABC—PB1Q的体积比值为 . ●参考解答 1．找点——椭圆的另一个焦点F27×10 = 70 由椭圆的对称性可知，本题的答案是70的一半即35. 2．如图所示令A1P = CQ则多面体蜕变为四棱锥C—AA1B1B，四棱锥蜕化为三棱锥C—A1B1C1 . 显然V棱柱. ∴∶= 于是奇兵天降——答案为. ［点评］ “点到成功”的点，都是非一般的特殊点，它能以点带面，揭示整体，制约全局. 这些特殊点，在没被认识之前，往往是人们的盲点，只是在经过点示之后成为亮点的. 这个“点”字，既是名词，又是动词，是“点亮”和“亮点”的合一. 第2计 西瓜开门 滚到成功 ●计名释义 比起“芝麻”来，“西瓜”则不是一个“点”，而一个球. 因为它能够“滚”，所以靠“滚到成功”. 球能不断地变换碰撞面，在滚动中能选出有效的“触面”. 数学命题是二维的. 一是知识内容，二是思想方法. 基本的数学思想并不多，只有五种：①函数方程思想，②数形结合思想，③划分讨论思想，④等价交换思想，⑤特殊一般思想. 数学破题，不妨将这五种思想“滚动”一遍，总有一种思想方法能与题目对上号. ●典例示范 对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）f (（x）(0，则必有 A. f（0）＋f（2） 2f（1） B. f（0）＋f（2）≤2 f（1） C. f（0）＋f（2）≥ 2f（1） D. f（0）＋f（2）(2f（1） 　用五种数学思想进行“滚动”，最容易找到感觉应是③：分类讨论思想.　这点在已条件（x-1）f＇(x)≥0中暗示得极为显目. 其一，对f＇(x)有大于、等于和小于0三种情况； 其二，对x-1，也有大