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第六讲 因子分析Factor Analysis 管理应用软件 —— SPSS for Application Contents 引言 主成分分析的成功需满足如下两点： 前（少数）几个主成分具有较高的累计贡献率；（通常较易得到满足） 对主成分给出符合实际背景和意义的解释 。（往往正是主成分分析的困难之处） 因子分析的用途与主成分分析类似，它也是一种降维方法。由于因子往往比主成分更易得到解释，故因子分析比主成分分析更容易成功，从而有更广泛的应用。 引言 从方法上来说，因子分析比主成分分析更为精细，自然理论上也就更为复杂。主成分分析只涉及一般的线性变换，不涉及模型，仅需假定二阶矩存在。而因子分析需建立一个数学模型，并作一定的假定。 因子分析起源于20世纪初，K.皮尔逊(Pearson)和C.斯皮尔曼(Spearman)等学者为定义和测定智力所作的努力，主要是由对心理测量学有兴趣的科学家们培育和发展了因子分析。 因子分析的目的是为了降维，降维的方式是试图用少数几个潜在的、不可观测的随机变量来描述原始变量间的协方差关系。 6.1 背景问题 招聘考试问题: 参加考试考生有100人，50个考试题目，涉及六个方面问题：语言表达能力（F1）、逻辑思维能力（F2）、判断事物的敏捷性（F3）、思想修养（F4）、兴趣爱好（F5）、生活常识（F6）。 这六个方面简称为六个因子 6.1 背景问题 考试成绩 第1个考生成绩： 第2个考生成绩： …… 第100个考生成绩： 6.1 背景问题 问题设计 每一个题目看作一个变量， 50个题目→50个变量， 分别记为x1，x2，…，x50；100样品→5000个数据。 每个考生的每个题目（50个）的得分是以上6个因子的函数，不妨设为线性函数关系，表达式如下： 6.1 背景问题 变量的线性函数关系 6.1 背景问题 变量的线性函数关系：矩阵形式 6.1 背景问题 线性函数变量解释 F1，F2，，F6是所有变量共有的因子，通常称为公共因子；它们的系数aij（i = 1, 2, … ,50 ; j = 1, 2 , … , 6)称为因子载荷，它表示考生在第i个题目的得分在第j个因子方面的能力 εi 表示考生在第i个考题中的特殊能力，服从均值为零的正态分布，它称为特殊因子。 6.1 背景问题 如何利用这100个考生的50个题目的成绩，通过适当的方法求出aij, i = 1, 2, … ,50 , j=1, 2 , … , 6，并将F1, F2,…, F6 的估计表示为x1，x2，…，x50的函数，即 6.1 背景问题 然后，利用每个应聘人员的50个题目的分数，计算每个应聘人员的上述六个因子的得分，并对其进行综合评价，据此分析应聘人员的素质。 适当方法—— 因子分析 变量群中提取共性因子的数据分析技术 6.1 背景问题 最早由英国心理学家查尔斯·斯皮尔曼(Chales Spearman)提出。他发现学生不同科目考试成绩之间存在着一定的相关性，某一科目成绩好的学生，往往其他各科成绩也比较好，从而推想是否存在某些潜在的共性因子，或称某些一般智力条件影响着学生的学习成绩。因子分析可在许多变量中找出隐藏的具有代表性的因子，将相同本质的变量归入一个因子，从而减少变量。 6.1 背景问题 获取公共因子的途径 ① 利用变量的相关系数阵（R型因子分析） ② 利用样品的相似系数阵（Q型因子分析） 6.1 背景问题 其他类似的背景问题 [1] TOEFL考试：100道小题，涉及考生的听力、语法、阅读、写作等方面的能力 [2] GRE的数学考试：50道小题，涉及考生的算术、几何、积分和统计等方面的能力 …… 6.2 因子模型 假设在所研究的问题中,有n个样品，每个样品有p个指标: x1, x2, …, xp, （均值为0，方差为1），它们可以表示为m个公共因子的函数 6.2 因子模型 6.2 因子模型 6.2 因子模型 备注 ①：m ≤ p 备注 ② ：如果x1, x2, …, xp,不满足条件：均值=0，方差=1，则对它们先进行数据的标准化处理 备注 ③ ：ε1, ε2 , … , εp是互不相关的特殊因子，均值=0，标准差分别为σ1, σ2 , …, σp 备注 ④： xi的表达式中系数ai1, ai2 , … , aim的平方和称为xi的共同度，记作hi2, 它表示全部公共因子对xi的贡献 D(xi)= hi2 + σi2 6.2 因子模型 公共因子的方差贡献率 gj2=a1j2+a1j2+…+apj2, j = 1,2,…, m 表示第j个公共因子Fj 对所有变量：x1, x