极限检定法.ppt

函數與極限 8.1 數列 8.2 級數 8.3 積分及比較檢定法 8.4 其他收斂檢定 8.5 冪級數 8.6 函數的冪級數展開 8.7 泰勒及馬克勞林級數 8.8 泰勒多項式的應用 8.1 數列 數列(sequence)是指把一系列的數依照某種順序寫下來： a1為第1項，a2為第2項，……，an為第n項。 數列{a1 , a2 , a3 , . . .} 也可表示為 或 定義 I 如果數列{an}的第n項an在 n 夠大時會靠近L，則{an}的極限(limit)為L，並記為 或 當n → ∞時 an → L 當 存在，即此數列{an}收斂(converges)；反之則是發散的(diverges)。 定義 II 如果對任意的ε0，都可以找到正整數 N 使得 若 n N ，則數列{an}的極限是L，並記為 或 當n→∞時 an → L 定理: 若 且 則 定義 III 如果對任意的正數 M，都可以找到正整數N使得 若 n N 則 如果對任意 n ≧ no都滿足an ≦ bn ≦ cn而且 ，那麼極限 如果 則 假設數列{an}和{bn}都收斂，c是常數，則: 定義 IV 8.2 級數 如果把數列 的每一項加起來，其結果為: 則稱此為無窮級數(infinite series)或級數(series)。 級數也可以表示為 或 部分和(partial sums): 定義 I 用sn表示級數 前n項的部分和: 當數列{sn}收斂而且極限 是個實數，即此級數 收斂，並記為 s 為級數和。如果{sn}是發散的，則級數是發散的。 幾何級數: 當│r│1時是收斂的，而且此級數的和為 當│r│≧1時，幾何級數是發散的。 定理 I 如果級數 是收斂的，那麼數列{an}會滿足 但是，即使 ，也不一定保證 收斂。 發散檢定 如果 不存在或 那數列 就是發散的。 定理 I I 如果級數 和 都是收斂的，那麼級數 （c為常數）、 以及 也都是收斂的，且其極限值為： (i) (ii) (iii) 8.3 積分及比較檢定法 積分檢定法: 假設函數 f 在[1, ∞)連續、遞減而且是正的，同時令 an=f (n)。則級數 會收斂若且唯若瑕積分 收斂。 (a) 若 收斂，則 也收斂。 (b) 若 發散，則 也發散。 p-級數: 在p 1時收斂，而在p≦ 1時發散。 比較檢定法: 假設級數 及 的項都是正的。 (a)如果 收斂而且對任意 n 都滿足an ≦ bn ，那麼 也是收斂的。 (b)如果 發散而且對任意 n 都滿足 an ≧bn ， 那麼 也是發散的。 極限檢定法: 假設級數 及 的項都是正的。如果極限 其中c 0 是一個有限的數。那麼二個級數就會同時收斂或發散。 8.4 其他收斂檢定 交錯級數(alternating series): 正負數會輪流出現的級數。例如 交錯級數檢定法: 如果交錯級數